Enunciado

Resolva o problema 2.113 sabendo que a = 1,76 m e que a intensidade da força Q aplicada em B é aumentada gradualmente de zero até 135   k N .

(notas expert: a questão original possuía um erro no enunciado que não apresentava a carga que atuava na estrutura, impedindo assim a solução do problema, dessa maneira optou-se por um enunciado da versão mais recente tendo em vista que esse possui um sentido)

Passo 1

Fala galera, temos um exercício um pouco fora dos padrões que estamos acostumados, mas nada que seja muito assustador, na verdade, ele vai seguir alguns princípios que já conhecemos e alguns princípios novos que vamos ver. Como nosso objetivo são as tensões, vamos precisar das forças, e para isso, precisamos do nosso diagrama de corpo livre, assim teremos que:

∑ M c = 0

1,760 Q - 1,760 P B E - 2,64 P A D = 0

1,760 ( Q - P B E ) - 2,64 P A D = 0

Porém, percebemos que temos um problema estáticamente indeterminado, porque temos duas incógnitas ( P B E   e   P A D ) e uma equação , ou seja, precisamos de uma relação de deformações, montando um pequeno diagrama de deformações, temos que:

Assim podemos dizer que:

δ A 2,64 = t g θ

δ B 1,760 = t g θ

Porém, lembre-se que consideremos deformações muito pequenas, ou seja, tão pequenas que podemos fazer a seguinte aproximação:

δ A 2,64 = θ

δ B 1,760 = θ

Assim as deformações são consideradas da seguinte maneira:

δ A = 2,64 θ

δ B = 1,760 θ

Passo 2

Conseguimos uma relação para deformação fazendo uma análise geométrica no passo anterior, mas também temos que lembrar que podemos determinar a nossa deformação pela seguinte equação:

δ = P L E A

Como nosso objetivo é determinar as forças e com essas forças determinar a tensão, podemos usar essa equação anterior para determinar a força, e depois dividir ela pela área da seção para obter a tensão, assim, teremos que:

δ A = P A D L A D E A

P A D = E A L A D δ A

Sabemos que:

E = 200   G P a = 200 × 10 9   P a

A = 37,5 × 6 = 225   m m 2 = 225 × 10 - 6 m 2

L A D = 1,7 m

δ A = 2,64 θ

P A D = 200 × 10 9   [ P a ] 225 × 10 - 6 [ m 2 ] 1,7 [ m ] 2,64 θ = 69,88 × 10 6 θ

E como já sabemos a força, a tensão vai ser bem tranquila de calcular.

σ A D = P A D A = 69,88 × 10 6 θ 225 × 10 - 6 = 310,6 × 10 9 θ

E tudo isso que fizemos na barra AD, poderemos fazer na barra BE, assim vamos ter que:

δ B = P B E L B E E A

P B E = E A L B E δ B

Sabemos que:

E = 200   G P a = 200 × 10 9   P a

A = 37,5 × 6 = 225   m m 2 = 225 × 10 - 6 m 2

L B E = 1,0 m

δ B = 1,76 θ

P B E = 200 × 10 9   [ P a ] 225 × 10 - 6 [ m 2 ] 1,0 [ m ] 1,76 θ = 79,2 × 10 6 θ

E como já sabemos a força, a tensão vai ser bem tranquila de calcular.

σ B E = P B E A = 79,2 × 10 6 θ 225 × 10 - 6 = 352 × 10 9 θ

Passo 3

Agora que já temos as forças e as tensões, podemos trazer de volta a nossa equação de equilíbrio, assim, teremos que:

1,760 ( Q - P B E ) - 2,64 P A D = 0

Isolando a carga Q atuante na nossa estrutura, teremos que:

Q = 2,64 P A D + 1,760 P B E 1,760

Q = 1,5 P A D + P B E

E como já sabemos quanto cada uma dessas forças valem, podemos substitui-las, assim vamos ter que:

Q = 1,5 ( 69,88 × 10 6 θ ) + 79,2 × 10 6 θ

Q = 184,02 × 10 6 θ

Agora vamos guardar essa fórmula porque já vamos usar ela, agora precisamos analisar as resistências das nossas barrinhas a partir das nossas tensões.

Passo 4

Sabemos que a tensão atuante na nossa barra BE é dada por:

σ B E = 352 × 10 9 θ

E sabemos que a máxima tensão que age nela é a tensão de escoamento, exatamente por estarmos em um estado elastoplástico, assim, podemos admitir que a máxima tensão que pode atuar na nossa barra BE é dada por:

σ e = 250 M P a = 250 × 10 6   P a

Se igualarmos os dois vamos ter o máximo ângulo para a barra BE, assim vamos ter que:

352 × 10 9 θ = 250 × 10 6

θ e B E = 710,23 × 10 - 6

Se temos o ângulo, temos exatamente a máxima carga que podemos aplicar na nossa estrutura antes que a nossa barra comece a entrar em escoamento, sendo nesse caso a barra BE, assim teremos que:

Q = 184,02 × 10 6 × 710,23 × 10 - 6 = 130,7 × 10 3 N = 130,7   k N

E perceba, como a carga aplicada na nossa estrutura foi de 135 K N , temos que a carga aplicada é maior que a carga que a nossa barra BE poderia suportar, logo ela entrou em escoamento, assim, a máxima tensão atuante na nossa barra BE é a tensão de escoamento, assim vamos ter que:

σ B E = 250   M P a

Como a nossa barra entrou em escoamento, para determinar a força nela, basta fazermos o seguinte:

P B E = σ B E A = 250 × 10 6 × 225 × 10 - 6 = 56250 N = 56,25   k N

E porque determinamos isso? Porque já que já sabemos a tensão na barra BE, podemos usar ela para determinar a nossa carga e substituir na equação de equilíbrio, assim, temos que:

Q = 1,5 P A D + P B E

Sabemos que:

Q = 135   k N

P B E = 56,25   k N

135 = 1 , 5 × P A D + 56,25

P A D = 52,5   k N

E como temos a força na barra AD, podemos calcular a tensão nela pela equação:

σ A D = P A D A = 52,5 225 × 10 - 6   k N m 2 = 233333   K P a = 233   M P a

Passo 5

Como a nossa barra BE entrou em escoamento, para determinarmos a deformação nela, precisaremos do auxilio da equação dada por:

δ B = 1,760 θ

E para resolvermos ele, precisamos do nosso ângulo, e podemos determinar ele pela seguinte equação:

P A D = 69,88 × 10 6 θ

e sabemos que:

P A D = 52,5   k N = 52500   N

θ = 52500 69,88 × 10 6 = 7,51 × 10 - 4   r a d

δ B = 1,760 × 7,51 × 10 - 4 = 1,322 × 10 - 3 m = 1,322   m m

Resposta

  1. σ A D = 233   M P a         e         σ B E = 250   M P a
  2. δ B = 1,322   m m
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