Enunciado

Resolva o Problema 7.21 usando o círculo de Mohr.

Passo 1

Beleza! Através dos dados que foram dados no enunciado, vamos desenhar o elemento diferencial de tensões para o estado fornecido, escrevendo em função da força P e da área da seção. Com o elemento diferencial, vamos esboçar o círculo de Mohr para o estado de tensões e encontrar um ponto para a rotação beta , e com o círculo de Mohr e os valores fornecidos para a tensão no plano a-a, podemos encontrar o valor de beta .

Feito isso, conseguimos encontrar a expressão para a tensão normal nesse ponto, depois disso fica fácil! É só substituir os valores conhecidos na equação da tensão! Bora lá!

Passo 2

Tá legal! Vamos começar desenhando o elemento diferencial para o estado dado, onde só temos tensão em y, então teremos:

Sabemos que a tensão é dada pela força sobre a área, então, para esse elemento diferencial, temos:

sigma_x = 0

sigma_y = - (P)/(A)

tau_x y = 0

Com esses valores, podemos encontrar a tensão média, dada por:

sigma_m e d = (sigma_x + sigma_y)/(2)

Substituindo os valores conhecidos, teremos:

sigma_m e d = (0 + (- (P)/(A)))/(2) -> sigma_m e d = - (P)/(2 A)

Agora, vamos escrever as coordenadas dos pontos para o círculo de Mohr, no nosso caso, temos:

X : (sigma_x , - tau_x y) = (0 , 0)

Y : (sigma_y , tau_x y) = (- (P)/(A) , 0)

C : (sigma_m e d , 0) = (- (P)/(2 A) , 0)

Então, com esses pontos, temos o seguinte círculo de Mohr:

Passo 3

Com o círculo de Mohr esboçado, podemos ver que o seu raio será metade da tensão em Y, ou seja:

R = (sigma_y)/(2) = ((P)/(A))/(2) -> R = (P)/(2 A)

Agora precisamos rotacionar o elemento diferencial em de um ângulo beta para podermos encontrar o estado de tensão no plano a-a. Sendo assim, rotacionando o elemento em beta , ou seja, percorrendo 2 beta no círculo de Mohr, os novos pontos estarão em:

Então, para uma rotação beta do elemento, tendo as informações referentes a tensão normal e de cisalhamento, podemos escrever a tangente desse ângulo como:

t g beta = (tau_x ' y^')/(- sigma_y^')

Passo 4

Agora, sabemos que as coordenadas do ponto Y’ são dadas por:

Y^' = ( sigma_y^' , tau_x^' y^' )

Então, com os valores dados no enunciado, nosso ponto Y’ será:

Y^' = ( - 15,5 )

Então, podemos substituir esses valores na equação para o ângulo beta , onde teremos:

t g beta = (5)/(- (- 15)) -> beta = 18,43 °

Proonto! Esse é o valor de beta que queríamos para a letra (a).

Passo 5

Agora, para a letra (b), vamos escrever a expressão para a tensão sigma_y^' , pois nela teremos a expressão para a tensão aplicada no pilar, que é o que queremos encontrar. Então, do círculo de Mohr do passo 3, podemos escrever essa tensão como:

sigma_y^' = sigma_m e d + R c o s (2 beta) = (P)/(2 A) + (P)/(2 A) cos (2 beta)

sigma_y^' = (P)/(2 A) [1 + cos (2 beta)]

Opa, pera aí! O termo P/A não é a própria tensão aplicada no pilar?! Então é só isolarmos esse termo e substituirmos os valores conhecidos, chegando em:

(P)/(A) = (2 sigma_y^')/(1 + cos (2 beta)) = (2 (15))/(1 + cos (36,86))

(P)/(A) = 16,66 k s i

Feshoow! Tá aí a tensão compressiva pedida na letra (b).

Resposta

(a) : beta = 18,43 °

(b) : (P)/(A) = 16,66 k s i

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