Enunciado

O círculo de Mohr mostrado corresponde ao estado de tensão dado nas Figs. 7.5a e b. Notando que σ x ' = OC + (CX’) cos ⁡ 2 θ p - 2 θ e que τ x ' y ' = C X ' s e n 2 θ p - 2 θ , determine as expressões para σ x ' e τ x ' y ' dadas nas Equações (7.5) e (7.6), respectivamente. [Sugestão: Use sem (A+B) = senA cosB + cosA senB e cos(A+B) = cosA cosB – senA senB.]

Passo 1

Opaa! Fala pessoal, beleza? Bora pra mais um?! Vamos começar esse exercício relembrando quais são as equações 7.5 e 7.6 vistas nesse capítulo, pois são nelas que devemos chegar. Fazendo isso, vamos usar as relações trigonométricas fornecidas para desenvolver as equações e poder chegar nessas expressões.

Passo 2

Vamos começar escrevendo as equações 7.5 e 7.6 que devemos encontrar, então são elas:

σ x ' = σ x + σ y 2 + σ x - σ y 2 cos ⁡ 2 θ + τ x y sen ⁡ 2 θ

τ x ' y ' = - σ x - σ y 2 sen ⁡ 2 θ + τ x y cos ⁡ 2 θ

Beleza! Agora nós vamos começar pela equação da tensão. Então, conforme o enunciado nos disse, temos a seguinte relação:

σ x ' = O C + C X ' cos ⁡ 2 θ p - 2 θ

Então, abrindo essa relação através da relação trigonométrica sugerida no enunciado, teremos:

σ x ' = O C + C X ' cos ⁡ 2 θ p cos ⁡ 2 θ + sen ⁡ 2 θ p sen ⁡ 2 θ

σ x ' = O C + C X ' cos ⁡ 2 θ p cos ⁡ 2 θ + C X ' sen ⁡ 2 θ p sen ⁡ 2 θ

Agora, precisamos encontrar expressões para esses 3 termos. Começando por OC, esse ficou fácil, olhando para o círculo de Mohr, temos que será o σ m e d , que é dado por:

O C = σ m e d = σ x + σ y 2

Beleza, agora, devemos notar que CX e CX’ são iguais, já que representam o raio do círculo, então temos:

C X = C X '

E, podemos ver que:

C X ' cos ⁡ 2 θ p = C X cos ⁡ 2 θ p = σ x - σ y 2

E, da mesma forma, com o seno, teremos a própria tensão de cisalhamento, ou seja:

C X ' sen ⁡ 2 θ p = C X sen ⁡ 2 θ p = τ x y

Agora, substituindo as relações encontradas na equação que tínhamos para σ x ' teremos:

σ x ' = O C + C X ' cos ⁡ 2 θ p cos ⁡ 2 θ + C X ' sen ⁡ 2 θ p sen ⁡ 2 θ

σ x ' = σ x + σ y 2 + σ x - σ y 2 cos ⁡ 2 θ + τ x y sen ⁡ 2 θ

Opaa! Essa é exatamente a equação 7.5 que queríamos encontrar. Agora bora encontrar a 7.6.

Passo 3

Agora, para a equação 7.6, temos a seguinte relação dada no enunciado:

τ x ' y ' = C X ' s e n 2 θ p - 2 θ

Agora, vamos abrir essa diferença do seno utilizando a relação fornecida no enunciado, chegando em:

τ x ' y ' = C X ' se n ⁡ 2 θ p cos ⁡ 2 θ - cos ⁡ 2 θ p se n ⁡ 2 θ

τ x ' y ' = C X ' sen ⁡ 2 θ p cos ⁡ 2 θ - C X ' cos ⁡ 2 θ p sen ⁡ 2 θ

Lembra das relações lá do passo 2? Então, vamos usar elas de novo aqui, chegando em:

τ x ' y ' = τ x y cos ⁡ 2 θ - σ x - σ y 2 sen ⁡ 2 θ

Tá aí, essa é a equação 7.6 que queríamos encontrar.

Resposta

σ x ' = σ x + σ y 2 + σ x - σ y 2 cos ⁡ 2 θ + τ x y sen ⁡ 2 θ

τ x ' y ' = τ x y cos ⁡ 2 θ - σ x - σ y 2 sen ⁡ 2 θ

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