Enunciado

Para o estado de tensão indicado, determine dois valores de σ y para os quais a tensão de cisalhamento máxima é de 80 MPa.

Passo 1

Opaa! Fala pessoal, beleza? Bora pra mais um?! Para esse exercício, nós vamos precisar desenhar o círculo de Mohr para poder analisar os extremos do círculo e encontrar a tensão σ y supondo que ela seja a máxima e a mínina nesses pontos.

Então, para desenhar o círculo de Mohr, precisamos da tensão média e do raio do círculo, então bora lá!

Passo 2

Vamos começar escrevendo as tensões fornecidas no elemento diferencial, que são:

σ x = 90   M P a

σ z = 0   M P a

τ x z = 60   M P a

τ m a x = 80   M P a

Beleza! Com essas informações já podemos calcular a tensão média, que será dada por:

σ m e d = σ x + σ z 2 = 90 + 0 2 → σ m e d = 4 5   M P a

Agora, podemos utilizar a fórmula para o raio do círculo de Mohr, dada por:

R = σ x - σ z 2 2 + τ x z 2

Substituindo os valores conhecidos, chegamos em:

R = 90 - 0 2 2 + 60 2 → R = 75   M P a

Com isso podemos desenhar o círculo de Mohr, que será dado por:

Beleza, com a tensão média e o raio do círculo, podemos calcular os valores da tensão máxima e mínima, que serão dados por:

σ m a x = σ m e d + R = 15 + 13 → σ m a x = 28   k s i

σ m i n = σ m e d - R = 15 - 13 → σ m i n = 2   k s i

Passo 3

Agora, com o círculo desenhado, podemos encontrar a tensão normal no ponto A, que será a tensão máxima, dada por:

σ a = σ m a x = σ m e d + R = 45 + 75 → σ m a x = 120   M P a

E, a tensão mínima, no ponto B, será:

σ b = σ m i n = σ m e d - R = 45 - 75 → σ m i n = - 30   M P a

Agora, vamos encontrar σ y quando ela for a tensão mínima, ou seja:

σ y = σ m i n

Só que nós sabemos que o σ m i n pode ser dado por:

σ m i n = σ m a x - 2 R

Só que, sabemos que nesse caso o raio do círculo será a própria tensão de cisalhamento dada no enunciado, então a nossa equação para σ y será:

σ y = σ m a x - 2 τ m a x

Substituindo os valores conhecidos, chegamos em:

σ y = 120 - 2 80 → σ y = - 40   M P a

Passo 4

Agora, vamos encontrar σ y quando ela for a tensão máxima, ou seja:

σ y = σ m a x

Só que nós sabemos que o σ m a x pode ser dado por:

σ m a x = σ m i n + 2 R

Só que, sabemos que nesse caso o raio do círculo será a própria tensão de cisalhamento dada no enunciado, então a nossa equação para σ y será:

σ y = σ m i n + 2 τ m a x

Substituindo os valores conhecidos, chegamos em:

σ y = - 30 + 2 80 → σ y = 130   M P a

Feshooow! Esse é o nosso segundo valor de σ y .

Resposta

σ y = - 40   M P a

σ y = 130   M P a

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