Enunciado

Resolva o Problema 8.26 para o ponto B .

Passo 1

Uma barra engastada a uma parede sofre um carregamento de F = 800 N na extremidade livre.

A barra tem diâmetro d = 40 mm .

Queremos saber como ficam as tensões em um ponto P que está a 200 mm da extremidade livre.

Vamos achar primeiro as forças e momentos internos na seção transversal que passam por B . Aí podemos calcular as tensões e desenhar o elemento de volume nesse ponto.

Passo 2

Vamos ver como ficam as forças. Diagrama de corpo livre:

As componentes do carregamento F = 800 são:

F_z = F * cos (30 °) = 0,693 kN

F_y = F * sin (30 °) = 0,400 kN

Checando cada equilíbrio, podemos saber como fica a força interna ( F_B z e F_B y ) e o momento interno ( M_B ) na seção que passa em B .

sum F_z = 0 -> F_B z = F_z = 0,693 kN

sum F_y = 0 -> F_B y = F_y = 0,400 kN

sum M_B = 0 -> M_B = 200 mm * F_z = 138,6 Nm

Tranquilo! Agora vamos pensar qual o efeito que cada esforço faz na seção.

  • A força F_B y causa tração:
  • sigma = (F)/(A)

  • A força F_B z causa cisalhamento na direção positiva ( z ) . Mas o ponto B está na borda da seção. Como o não há carregamento na superfície externa, não podemos ter cisalhamento nesse ponto para direção z , senão não tem como equilibrar!
  • tau = (V Q)/(I t)

    Q_B = 0 -> tau_F_y = 0

  • O momento M_B causa flexão, que vai gerar tração em z > 0 e compressão em z < 0 .

sigma = (M c)/(I)

Então temos todas as fórmulas para usar. Vamos calcular com calma cada propriedade dessa seção pro ponto B e aí voltamos pra fechar as contas!

Passo 3

Área da seção (círculo):

A = (pi d^2)/(4) = 1256,64 mm^2

Segundo momento de área (círculo, em relação ao eixo neutro):

I = I_x = (pi d^4)/(64) = 125663,71 mm^4

A distância do ponto B para o eixo neutro é

c = d // 2 = 20 mm

Show! Finalmente vamos calcular as tensões!

Passo 4

Vejamos uma direção de cada vez.

Na direção x não temos tensões nesse problema.

Na direção y , temos a tração gerada pela força F_B y :

sigma = (F)/(A) -> sigma_F_B y = (0,400 kN)/(1256,64 mm^2) = 0,318 MPa

E também na direção y , temos a compressão gerada por M_B (ponto B está abaixo do eixo neutro):

sigma = (M c)/(I) -> sigma_M_B = (138,6 Nm * 20 mm)/(125663,71 mm^4) = 22,06 MPa

Somando os efeitos:

sigma_y = sigma_F_B y - sigma_M_B = - 21,74 MPa

A tensão sigma_y causa compressão no ponto B !

Passo 5

Só falta desenhar. Confira bem qual é a seção que você está tratando (Passo 2 ), e trace as tensões pro ponto B pelo o que você descobriu no Passo 4 . Aí é só fazer as outras setas pensando no equilíbrio!

A seta vermelha atua no plano da seção considerada.

Resposta

Compressão no ponto B :

sigma_y = 21,74 MPa

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