Enunciado

Resolver os P r o b . 6.1 6 , usando o círculo de mohr.

Passo 1

Nosso objetivo é determinar as tensões normais e cisalhantes em um estado de tensões que gire 40° no sentido anti-horário e 15° no sentido horário. Sabemos que o nosso elemento é dado por:

E para determinarmos essas tensões no estado girado pelo círculo de mohr, precisamos lembrar do seguinte:

Ou seja, um ângulo que gera uma rotação no sentido horário no estado plano de tensões gera no círculo de mohr o dobro da mesma rotação no sentido anti-horário, e vice versa, com isso já conseguimos pegar o esquema do nosso problema, então vamos ao cálculo.

Passo 2

Sabemos que em seguida, precisamos lembrar que os nossos eixos são dados por duas retas, uma de tensões cisalhantes, e uma de tensões normais:

E sabemos que se juntarmos a tensão x com a negativa da tensão cisalhante e a tensão y com a positiva da tensão cisalhante, obtemos dos pontos pertencentes ao nosso círculo de mohr, e que são imediatamente opostos. Sendo assim teremos que:

X σ x , - τ x y = X - 80   , 4 0

Y σ y , τ x y = Y - 50   ,   - 40

Passo 3

Se ligarmos os pontos, podemos determinar as tensões médias no círculo de mohr:

Sabemos que:

σ M é d = σ x + σ y 2 = - 50 - 80 2 = - 130 2 = - 65   M P a

Assim podemos determinar também o raio do nosso círculo:

R 2 = 4 0 2 + 15 2

R = 42,72

Passo 4

Agora podemos ir pensando os nossos objetivos um por um:

  • Determinar os planos principais
  • Isso podemos ver no nosso círculo da seguinte maneira:

    Sabemos que:

    T g 2 θ p = 4 0 1 5

    2 θ p = 69,44 °

    θ p 1 = 34,72 °

    Passo 4

    Agora vamos lá, precisamos fazer a rotação da nossa seção, sabemos que devemos fazer as seguintes rotações:

  • 40° no sentido anti-horário no estado plano de tensões, são 80° no sentido horário no círculo de mohr.
  • 15° no sentido horário do estado plano de tensões, representa 30° no sentido anti-horário no círculo de mohr.

Vamos fazer um de cada vez:

  • 40° no sentido anti-horário – 80° no sentido horário:
  • Assim o ângulo com a horizontal formado com relação a nova posição será dado por:

    θ = 180 ° - 69,44 ° - 80 ° = 30,56 °

    τ x y 42,72 = S E N   30,56 °

    τ x y = 21,72

    x 42,72 = C O S   30,56 °

    x = 36,79

    σ x = - 65 + 36,79 = - 28,21

    σ y = - 65 - 36,79 = - 101,79

  • 15° no sentido horário – 30° no sentido anti-horário:
  • Assim o ângulo com a horizontal formado com relação a nova posição será dado por:

    θ = 69,44 ° - 30 ° = 39,44 °

    τ x y 42,72 = S E N   39,44 °

    τ x y = 27,14

    x 42,72 = C O S   39,44 °

    x =   32,99

    σ y = - 65 + 32,99 = - 32,01

    σ x = - 65 - 32,99 = - 97,99

    Resposta

  • 40° no sentido anti-horário
  • τ x y = 21,72   M P a

    σ x = - 28,21   M P a

    σ y = - 101,79   M P a

  • 15° no sentido horário

τ x y = 27,14   M P a

σ y = - 32,01   M P a

σ x = - 97,99   M P a

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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