Enunciado

Resolver os P r o b s . 6 . 8   e   6.1 2 , usando o círculo de mohr.

Passo 1

Nosso objetivo nesse problema é determinar os planos principais, as tensões principais, a orientação dos planos com o máximo cisalhante e os normais que ocorrem nesse plano com máximo cisalhante, para isso, precisamos determinar as seguintes coisas primeiro:

  • Circulo de mohr
  • Raio do círculo
  • Tensão média

Tendo esses dados, poderemos determinar os nossos objetivos, sendo assim podemos prosseguir.

Sabemos que o nosso elemento é dado pelo seguinte estado de tensões:

Sabemos que em seguida, precisamos lembrar que os nossos eixos são dados por duas retas, uma de tensões cisalhantes, e uma de tensões normais:

E sabemos que se juntarmos a tensão x com a negativa da tensão cisalhante e a tensão y com a positiva da tensão cisalhante, obtemos dos pontos pertencentes ao nosso círculo de mohr, e que são imediatamente opostos. Sendo assim teremos que:

X σ x , - τ x y = X 110   , 140

Y σ y , τ x y = Y - 40   ,   - 140

Passo 2

Se ligarmos os pontos, podemos determinar as tensões médias no círculo de mohr:

Sabemos que:

σ M é d = σ x + σ y 2 = 110 - 4 0 2 = 70 2 = 35   M P a

Assim podemos determinar também o raio do nosso círculo:

R 2 = 7 5 2 + 1 40 2

R = 158,8

Passo 3

Agora podemos ir pensando os nossos objetivos um por um:

  • Determinar os planos principais
  • Isso podemos ver no nosso círculo da seguinte maneira:

    Sabemos que:

    T g 2 θ p = 14 0 7 5

    2 θ p = 61,8 °

    θ p 1 = 3 0,9 °

    θ p 2 = 90 ° - 3 0,9 ° = 59,1 °

  • Determinar as tensões principais
  • Isso podemos ver no nosso círculo da seguinte maneira:

    Sabemos que:

    σ 1 = 35 + 158,8 = 193,8   M P a

    σ 2 = 35 - 158,8 = - 123,8   M P a

  • Determinar a orientação do plano de tensões cisalhante
  • Essa é bem simples, basta fazer o seguinte:

    θ S = θ p + 45 °

    Sendo assim teremos que:

    θ S 1 = 5 9 , 1 ° + 45 ° = 104,1 °

    θ S 1 = 5 9 , 1 ° - 45 ° = 14,1 °

  • Determinar a tensão normal na tensão cisalhante máxima

sabemos que a tensão cisalhante máxima ocorre quando o raio está na vertical, e coordenada desse ponto é dado por:

σ M E D       ,       R

σ M E D = 3 5   M P a

τ M a x = R = 158,8   M P a

Resposta

θ p = 3 0,9 °   e   5 9 , 1 °

σ 1 = 193,8   M P a

σ 2 = - 1 23 , 8   M P a

θ S = 104,1 °   e   14,1 °

τ M a x = R = 158,8   M P a → σ M E D = 35   M P a

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