Enunciado

Resolver o Prob. 6.28, usando o círculo de Mohr.

Uma força vertical de 4 k N é aplicada no ponto A de um componente de máquina mostrado. Determinar as tensões principais e a máxima tensão de cisalhamento no: (b) ponto K

Passo 1

Algo muito importante antes de partir para as continhas, é definir melhor nossos eixos coordenados. É interessante colocar o eixo x como normal à nossa seção. Vamos fazer assim:

Nesse tipo de questão com esforços combinados, a primeira coisa a fazer é substituirmos essa força por um sistema de forças e momentos equivalentes, aplicados no centróide da seção que passa por K e H .

Isso vai representar os esforços internos nessa seção, que a gente vai usar para calcular as tensões. Temos essas componentes, em relação esse novo sistema de coordenadas:

- Cortante:

V y = - 4000   N

- Torção:

M x = T = 4000 ⋅ 0,035 = 140   N ⋅ m

- Momentos:

M z = - 4000 ⋅ 0,115 = - 460   N ⋅ m

Passo 2

Bora calcular as propriedades geométricas da seção transversal:

h = b = l

c z = l 2 = 0,0 15   m

c y = 0

A = l 2 = 0,03 2 = 0,0 009   m 2

I y = I z = 0,03 ⋅ 0,03 3 12 = 6,75 ⋅ 10 - 8   m 4

Passo 3

Agora é aplicar nossas fórmulinhas de tensão para o ponto K . O momento em z não gera tensão porque o ponto está na linha neutra da seção em relação a ele.

A nossa torção vai gerar um cisalhamento no plano x y , dado por:

τ x y = T c 1 a b 2

Como no nosso caso a = b = 0,03 e a / b = 1 , c 1 = 0,208 . Aí ficamos com:

τ x y 1 = 140 0,208 ⋅ 0,03 3 = 24,93   M P a

O cortante vai gerar cisalhamento também nesse plano, no mesmo sentido, e vale:

τ x y = V y Q I z t

Para a parte da seção acima do eixo K - K :

Q = A k y - k = 0,03 ⋅ 0,015 ⋅ 0,01 5 2 = 3,375 ⋅ 10 - 6   m 3

A expessura da seção é: t = 0,03   m . Aí fica:

τ x y = 4000 ⋅ 3,375 ⋅ 10 - 6 6,75 ⋅ 10 - 8 ⋅ 0,03

τ x y 2 = 6,67   M P a

Como as tensões estão no mesmo sentido, a gente soma elas:

τ x y = 24,93 + 6,67 = 31,6   M P a  

Passo 4

Agora é usar o círculo de Mohr para descobrir as tensões principais e a de cisalhamento máxima. Como o nosso cisalhamento está no plano x y , esse vai ser nosso plano. Para desenhar ele, precisamos dos pontos:

X = σ x ,   τ x y = 0   , + 31,6  

Y = σ y ,   - τ x y = 0 ,   - 31,6  

Repara que a tensão para Y vai ser a negativa, porque a tensão cisalhante na face perpendicular a esse eixo vai tender a girar o elemento no sentido anti-horário.

σ m é d i o = σ x + σ y 2 = 0

C = σ m é d i o , 0 = 0 , 0

Aí ele fica assim:

Passo 5

Daí a gente tira umas relaçõezinhas bonitinhas:

R = τ x y ∴ R = 31,36   M P a

E nossas tensões principais ficam:

σ m á x = σ m é d i a + R = 31,36   M P a

σ m í n = σ m é d i a - R = - 31,36     M P a

E a de cisalhamento:

τ m á x = R = 31,36   M P a

Resposta

σ m á x = 31,36   M P a

σ m í n = - 31,36   M P a

τ m á x = 31,36   M P a

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Usando as Eqs. (7,16) e (7,17), mostrar que em qualquer seção transversal da viga da Fig 7.24: (a) as direções dos eixos principais de tensão são definidos pela relação t g 2 θ 2 p = c 2 - y 2 x y (b)
A viga A B tem uma seção transversal retangular de largura b constante e a altura h variável. Sabendo-se que a viga deve ser de resistência constante, expressar h , em termos de x ,L e h 0 .
Resolver o Prob. 7.113, assumindo que a distância a é mudada para 0,55m .
Para a viga com o carregamento mostrado, determinar a largura b da viga e a distância x , para que a tensão normal máxima σ m e a tensão máxima de cisalhamento τ m na viga sejam simultaneamento iguais
Para a viga com o carregamento mostrado, determinar a largura b da viga e a distância x , para que a tensão normal máxima σ m e a tensão máxima de cisalhamento τ m na viga sejam simultaneamento iguais