Enunciado

Para a viga com o carregamento mostrado, determinar a largura b da viga e a distância x , para que a tensão normal máxima σ m e a tensão máxima de cisalhamento τ m na viga sejam simultaneamento iguais a:

σ a d m = 11   M P a

τ a d m = 760   k P a

Passo 1

Oi, fala aí, galerinha!!! Para resolver esse problema a gente vai seguir o seguinte passo a passo:

  1. Calcular a força cortante, o momento fletor e achar o momento fletor máximo e a força cortante máxima.
  2. Com o momento fletor máximo e a força cortante máxima vamos poder achar as máximas tensões normal e cisalhante, utilizando também o perfil da seção para calcular o módulo de resistência W .

Então partiu pro exercício!

Passo 2

A primeira coisa que vamos fazer é o diagrama de forças, de modo a achar as resultantes:

Agora, através das equações da estática vamos achar as reações. É possível perceber que só existe uma força no horizontal logo ela é nula, assim, A x = 0 .

Partindo para as forças em y :

∑ F y = 0

A y - 8,8 × 0,6 = 0

A y = 5,28   k N

Para achar o momento puro M a devido ao engaste vamos aplicar:

∑ M A = 0

- M a + 8,8 × 0,6 × x + 0,3 = 0

M a = 5,28 x + 0,3 k N . m

Passo 3

Agora vamos calcular o momento fletor máximo e a força cortante máxima. Este exercício torna isso muito fácil porque como temos apenas um lado engaste ambos (momento fletor e força cortante) serão máximos no ponto A:

V m á x = A y = 5,28   k N

M m á x = M a = 5,28 x + 0,3 k N . m

Passo 4

Agora vamos calcular a máxima tensão:

σ m = M ( m á x ) W

Perceba que temos de calcular o módulo resistente W :

W = I c

Calculando o momento de inércia:

I b a r r a = 1 12 b h 3

I b a r r a = 1 12 b 0,180 3

I b a r r a = 4,86 b × 10 - 4   m 4

Como:

c = 0,180 2 = 0,090

Temos:

W = 4,86 b × 10 - 4 0,090 = 5,4 b × 10 - 3   m 3

Substituindo na tensão:

σ m = 5,28 x + 0,3 5,4 b × 10 - 3

Como isso tem que ser igual a σ a d m = 11   M P a

11 × 10 6 = 5,28 x + 0,3 5,4 b × 10 - 3

Show vamos guardar essa equação e partir para a tensão cisalhante!

Passo 5

A tensão cisalhante para seções retangulares pode ser calculada como:

τ m = 3 2 V m á x A  

Como τ m = τ a d m = 760   k P a

760 × 10 3 = 3 2 5,28 × 10 3 b × 0,180  

b = 5,28 × 3 0,180 × 760 × 2 = 0,5789   m

b = 57,89   m m

Passo 6

Agora é só substituir na equação que separamos no passo 4:

11 × 10 6 = 5,28 x + 0,3 5,4 b × 10 - 3

Lembrando que a força está em k N , logo:

11 × 10 6 = 5,28 × 10 3 x + 0,3 5,4 ( 0,5789 ) × 10 - 3

x + 0,3 = 11 × 10 6 × 5,4 0,5789 × 10 - 3 5,28 × 10 3

x + 0,3 = 6,51   m

x = 6,21   m

Resposta

b = 57,89   m m

x = 6,21   m

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Determine as equações das curvas dos diagramas da força cortante e do momento fletor, para a viga com carregamento indicado. (Adotar a origem no ponto A.)
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Para o estado de tensões dado, determinar: (a) a orientação dos planos de máxima tensão de cisalhamento, no plano; (b) a tensão cisalhante máxima; (c) a correspondente tensão normal.