Enunciado

A roda está sujeita à força de 18   kN transmitida pelo eixo. Determine a força em cada um dos três raios. Considere que o aro é rígido, que os raios são feitos do mesmo material e que cada um tem a mesma área de seção transversal.

Passo 1

Um aro rígido está conectado por três raios (hastes) a um eixo no centro (em A ). Uma força de 18   kN para baixo é aplicada em A .

Características dos raios A B , A C e A D :

  • Comprimento inicial: L I = 0,4   m .
  • Módulo de elasticidade: E . (conhecido!)
  • Área: A . (conhecido!)

O forçamento de 18   kN irá puxar o ponto A para baixo, alongando o raio A B e comprimindo os raios A C e A D .

Queremos a força em cada raio.

Passo 2

Diagrama de corpo livre.

A simetria do problema irá facilitar nosso trabalho. Veja o equilíbrio de forças na horizontal:

∑ F x = 0 → F C sen 60 ° - F D sen 60 ° = 0

F C = F D

Agora vejamos o equilíbrio na vertical:

∑ F y = 0 → F B + F C cos 60 ° + F D cos 60 ° = 18   kN

F B + 2 F C cos 60 ° = 18   kN

Duas incógnitas ( F B e F C ), uma equação. Temos que formular a condição de compatibilidade para achar outra equação.

Passo 3

Por causa do forçamento, o raio A B vai ser esticado (deformação) um comprimento δ A B . O ponto A vai descer, então em tese o ângulo θ vai mudar para algum θ ' . Mas como estamos sempre assumindo pequenas deformações, essa mudança no ângulo é desprezível: θ ≈ θ ' .

Com a aproximação, as retas são praticamente paralelas, e aí a diminuição do raio A C ( δ A C ) fica visível em relação ao deslocamento δ A B .

Pelo triângulo formado, e como θ = 60 (figura no Passo 2), temos que

δ A B cos 60 ° = δ A C

Show, essa era a parte difícil! Só falta aplicar fórmula.

Passo 4

Use a fórmula da relação carga-deslocamento

δ = F   L A   E

δ A B cos 60 ° = δ A C →   F B   L A   E cos 60 ° = F C   L A   E

F B = 2 F C

Aplicando essa relação na equação que obtemos pelo equilíbrio:

F B + 2 F C cos 60 ° = 18   kN →  3 F C = 18   kN

F C = 6   kN

F C = F D → F D = 6   kN

F B = 2 F C → F B = 12   kN

Resposta

Força no raio A B : F B = 12   kN .

Força no raio A C : F C = 6   kN .

Força no raio A D : F D = 6   kN .

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