Enunciado

O conjunto é composto por dois postes do material 1 com módulo de elasticidade E 1 e cada um com área de seção transversal A 1 e um poste do material 2 com módulo de elasticidade E 2 e área de seção transversal A 2 . Se uma carga central P for aplicada à tampa rígida, determine a força em cada material.

Passo 1

Temos uma estrutura feita de 3 postes: um em cada canto com material 2 , e um no centro com material 1 . Não tem valores nessa questão, então vamos definir as variáveis.

Características dos postes A B e C D :

  • Área transversal: A 1 .
  • Módulo de elasticidade: E 1 .
  • Comprimento inicial: L .
  • Características dos postes E F :

  • Área transversal: A 2 .
  • Módulo de elasticidade: E 2 .
  • Comprimento inicial: L .

Um forçamento vertical P é imposto no meio da estrutura.

Até aqui, todas essas variáveis são conhecidas.

Queremos a força em cada poste. Vamos ver que nos postes de mesmo material, a força é a mesma, por causa da simetria.

Passo 2

Diagrama de corpo livre:

Fazendo o equilíbrio de momentos para o centro da estrutura:

∑ M c e n t r o = 0 → d   F A = d   F C → F A = F C

Beleza. Vamos simplificar então e usar F 1 = F A = F C e F 2 = F E .

Equilíbrio de forças:

∑ F = 0 → 2 F 1 + F 2 = P

Precisamos de mais uma equação!

Passo 3

A tampa é rígida, e por causa da simetria ( F A = F C ) , a força P vai fazer ela descer sem se inclinar. Então o deslocamento de qualquer um dos postes de material 1 tem que ser igual ao deslocamento do poste de material 2 :

δ 1 =   δ 2

Use a fórmula da relação carga-deslocamento:

δ = F   L A   E

F 1   L A 1   E 1 = F 2   L A 2   E 2 → F 1 = A 1   E 1 A 2   E 2 F 2

Passo 4

Vamos definir as forças F 1 e F 2 baseado nas variáveis que conhecemos

F 1 = A 1   E 1 A 2   E 2 F 2                 e                 2 F 1 + F 2 = P → 2 A 1   E 1 + A 2   E 2 A 2   E 2 F 2 = P

F 2 = A 2   E 2 2 A 1   E 1 + A 2   E 2 P

Voltando F 1 = A 1   E 1 A 2   E 2 F 2 , encontramos a força que falta

F 1 = A 1   E 1 2 A 1   E 1 + A 2   E 2 P

Resposta

Força no material 1 :

F 1 = A 1   E 1 2 A 1   E 1 + A 2   E 2 P

Força no material 2 :

F 2 = A 2   E 2 2 A 1   E 1 + A 2   E 2 P

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