Enunciado

A barra rígida é sustentada por um pino em A e dois cabos de aço, cada um com diâmetro de 4   mm . Se a tensão de escoamento para os cabos for σ e = 530   MPa e E a ç o = 200   GPa , determine a intensidade da carga distribuída w que pode ser colocada sobre a viga e provocará um início de escoamento no cabo E B . Qual é o deslocamento do ponto G para se caso? Para o cálculo, considere que o aço é elástico perfeitamente plástico.

Passo 1

Uma barra rígida tem como suporte um pino em A e dois cabos: um em B e outro em C . Um carregamento uniformemente distribuído w puxa a barra para baixo.

Características dos cabos:

  • Aço: E = 200   GPa , σ e = 530   MPa .
  • Área transversal: A = π ⋅ 4 2 / 4 = 12,566   mm 2 .
  • Comprimento inicial: L = 800   mm .

Queremos saber qual é o valor w da carga distribuída que vai causar o início de escoamento no cabo E B . Os cabos devem ser considerados elastoplásticos.

Depois precisamos calcular o quanto o ponto G deslocou para baixo: δ G

Passo 2

Estamos procurando forças, então primeiro vamos ver no diagrama de corpo livre como elas se relacionam. O que nos interessa são as forças verticais.

A situação que estamos buscando é quando o cabo E B começa a escoar, o que significa que a tensão no cabo E B é

σ B = σ e = 530   MPa

Pela fórmula da tensão, σ = F / A , podemos calcular já de cara qual é a força F B que o cabo E B está suportando:

F B = 530   MPa ⋅ 12,566   mm 2

F B = 6,660   kN

Show, já é uma informação resolvida! Vamos ver o que isso tem a ver com w , que é quem procuramos.

Fazendo equilíbrio de momentos em A a gente não tem que lidar com a reação do pino. Atenção que o carregamento atua a 400   mm de A com itensidade de 800   mm ⋅ w .

∑ M A = 0           →           400 F B + 650 F C = 400 ⋅ 800   mm ⋅ w

6,660   kN + 1,625 F C = 800   mm ⋅ w

Hmmm, pra definirmos w ainda precisamos descobrir o que está acontecendo com a força F C . Vamos ver a compatibilidade.

Passo 3

A barra vai girar ao redor do pino em A . Como ela é rígida, ela não se deforma. Vejamos como os deslocamentos dos cabos se relacionam. A barra é a linha preta na figura.

Na figura temos três triângulos com um ângulo em comum. Olhando para o menor e o intermediário, podemos formar uma equação com a tangente do ângulo:

δ B 400 = δ C 650

δ C = 1,625 δ B

Antes de fazer um monte de conta, pense o seguinte:

  • O cabo E B começou a escoar agora quando ele esticou δ B .
  • O cabo C D é igual ao cabo E B (mesmo material e mesmo comprimento inicial!).
  • Se δ C = 1,625 δ B , então obviamente o cabo C D já deformou mais que o cabo E B !
  • Então o cabo C D já está em regime plástico!!

Percebendo isso a gente evita muita conta que seria só pra checar que C D não está no regime elástico. O cabo C D sempre escoa antes do cabo E B

Vamos ver como é F C no regime plástico para finalmente acharmos w .

Passo 4

O cabo C D já está em deformação plástica há um tempo, mas como ele é feito de material elastoplástico a tensão nele continua sendo

σ C = σ e = 530   MPa

Então pela fórmula da tensão, a força F C também vai ser

σ = F A         →           F C = 530   MPa ⋅ 12,566   mm 2

F C = 6,660   kN

Agora que temos as forças nos cabos, podemos definir w pelo equilíbrio de momentos:

400 F B + 650 F C = 400 ⋅ 800   mm ⋅ w           →           w = 21,85   kN/m

Show. Vamos ver como ficou δ G para fechar essa questão.

Passo 5

Volte na figura do Passo 3. Olhando para o menor e o maior triângulo, podemos formar uma equação com a tangente do ângulo:

δ B 400 = δ G 800

δ G = 2 δ B

Ah, mas δ B a gente tem como achar fácil! O cabo E B começou a escoar agora, então a deformação dele pode ser encontrada pela Lei de Hooke com a tensão σ B = σ e = 530   MPa :

σ e = E ϵ B         →           ϵ B = 2,65 ⋅ 10 - 3

Definição de deformação:

ϵ B = δ B L         →           δ B = 2,12   mm

Então finalmente temos δ G :

δ G = 2 δ B         →           δ G = 4,24   mm

Resposta

Carga distribuída: w = 21,85   kN/m .

Deslocamento do ponto G : δ G = 4,24   mm .

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