Enunciado

As rodas A e B têm uma massa de 75 kg e 50 kg, respectivamente. Inicialmentem a roda A gira no sentido horário com uma velocidade angular constante de ω = 100 rad/s e a roda B está em repouso. Se A é colocada em contato com B, determine o tempo requerido para ambas as rodas alcançarem a mesma velocidade angular. O coeficiente de atrito cinético entre as duas rodas é μ k = 0,3 e os raios de giração de A e B em relação aos seus centos de massa respectivos são k A = 0,3 m e k B = 0,225 m. Despreze o peso do membro AC.

Passo 1

Para resolver esse exercício, iremos considerar a aceleração da gravidade como g = 9,81   m / s 2 .

Primeiro, devemos notar que enquanto as duas rodas não estiverem girando com a mesma velocidade angular, haverá força de atrito cinético entre elas, logo:

F = μ k N = 0,3 N

Podemos já calcular o momento de inércia das duas rodas. Para a roda A:

I A = m A k A 2 = 75 0,3 2 → I A = 6,75   k g . m 2

Para a roda B:

I B = m B k B 2 = 50 0,225 2 → I B = 2,531   k g . m 2

Passo 2

Tomaremos os seguintes diagramas de corpo livre para aplicar as equações de movimento. Roda A:

Roda B:

No passo 2 iremos aplicar as equações de movimento para as rodas A e B para descobrir as forças atuantes e a aceleração angular de cada uma delas.

Para a roda A:

↺ + ∑ M A = I A α A

0,3 N 0,375 = 6,75 α A

Essa será nossa equação número 1.

+ → ∑ F x = m a G x

0,3 N - T A C c o s 30 ° = 0

Essa será nossa equação número 2.

+ ↑ ∑ F y = m a G y

N - T A C s e n 30 ° - 75 9,81 = 0

Essa será nossa equação número 3.

Isolando N da equação número 2 e substituindo na equação número 3:

N - T A C s e n 30 ° - 75 9,81 = 0

( 2,8867 T A C ) - T A C s e n 30 ° - 75 9,81 = 0

T A C = 308,26   N

Substituindo esse valor na equação 2:

0,3 N - T A C c o s 30 ° = 0

0,3 N - 308,26 c o s 30 ° = 0

N = 889,88   N

E, para descobrir a aceleração usaremos esse valor na equação número 1:

0,3 N 0,375 = 6,75 α A

0,3 ( 889,88 ) 0,375 = 6,75 α A

α A = 14,83   r a d / s

Agora, iremos aplicar o somatório de momento em torno do ponto B para descobrir a aceleração angular de B:

↺ + ∑ M B = I B α B

0,3 889,88 0,3 = 2,531 α B

α B = 31,64   r a d / s

Passo 3

Agora, com o valores da acelerações angulares, podemos aplicar as equações da velocidade para A e B, obteremos expressões em função do tempo.

Para a roda A:

+ ↺   ω A = ω A 0 + α A t

ω A = 100 + ( - 14,83 t )

Para a roda A:

+ ↺   ω B = ω B 0 + α B t

ω B = 0 + 31,64 t

Como queremos que as rodas tenham a mesma velocidade angular, iremos igualar ω A e ω B e obter o tempo necessário para que isso ocorra:

ω A = ω B

100 + ( - 14,83 t ) = 0 + 31,64 t

t = 2,15   s

Resposta

t = 2,15   s

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