Enunciado

Sabendo que M = 565 N.m, determine a tensão no (a) ponto A e (b) ponto B.

Passo 1

Beleza! Vamos começar esse exercício escrevendo o raio interno da seção, que pode ser visto através da figura do enunciado como a distância do centroide C até a base do triângulo, então temos:

r 1 = 50,8   m m = 0,0508   m

Agora, para o raio externo da seção, que será dado pelo raio interno mais a altura do triângulo, temos:

r 2 = r 1 + h = 50,8 + 76,2 → r 2 = 127   m m = 0,127   m

Agora vamos calcular a área da seção, então temos:

A = b h 2 = 0,0635 0,0762 2 → A = 2,41935.10 - 3   m 2

Agora vamos escrever o raio médio da seção, para isso, basta lembrar que o centroide do triângulo está a 1/3 da sua altura total com relação a base, então no nosso caso, basta somar 2/3 da altura ao comprimento do centroide até a base do triângulo, sendo assim, teremos:

r - = 50,8 + 2 h 3 = 50,8 + 2 ( 76,2 ) 3 → r - = 101,6   m m = 0,1016   m

Agora, para encontrar a localização do raio da superfície neutra da seção, vamos recorrer a fórmula para a seção trapezoidal apresentada na figura 4.61 dessa seção. Observe que não podemos usar a fórmula para a seção triangular, pois a fórmula apresentada foi desenvolvida orientando-se do centroide até a base do triângulo, e não do centroide ao vértice superior (como é o caso da seção apresentada). Dessa forma, vamos utilizar a fórmula para a seção trapezoidal, onde temos:

R = 1 2 h 2 b 1 + b 2 b 1 r 2 - b 2 r 1 ln ⁡ r 2 r 1 - h b 1 - b 2  

Só que, no nosso caso, como a seção em si é triangular, basta que adotemos b 1 = 0 . Então, substituindo os valores conhecidos, chegamos em:

R = 1 2 0,0762 2 0 + 0,0635 0 0,127 - 0,0635 0,0508 ln ⁡ 0,127 0,0508 - 0,0762 0 - 0,0635

R = 184,35447.10 - 6 - 2,95577.10 - 3 + 4,8387.10 - 3 → R = 97,908.10 - 3   m

Passo 2

Agora podemos encontrar a excentricidade e da seção, que é a distância entre a linha neutra e o centroide da seção, através de:

e = r - - R

Substituindo os valores conhecidos, teremos:

e = 0,1016 - 97,908 . 10 - 3 → e = 3,6917 . 10 - 3   m

Agora para encontrar a tensão no ponto A pedida na letra (a), vamos utilizar a equação 4.71 vista nessa seção, onde temos:

σ = M r - R A e r

No ponto A temos r = r A = 50,8   m m , então a equação acima se torna:

σ A = M r A - R A e r A

Substituindo os valores conhecidos, chegamos em:

σ A = 565 0,0508 - 97,908 . 10 - 3 2,41935.10 - 3 3,6917 . 10 - 3 0,0508

σ A = - 58,66   M P a

Passo 3

Agora para encontrar a tensão no ponto B pedida na letra (b), nós vamos repetir o último cálculo do passo 2, só que agora com r = r B = r 2 = 0,127   m . Então a equação 4.71 se torna:

σ B = M r B - R A e r B

Substituindo os valores conhecidos, chegamos em:

σ B = 565 0,127 - 97,908.10 - 3 2,41935.10 - 3 3,6917.10 - 3 0 , 127

σ B = 14,49   M P a

Resposta

a :   σ A = - 58,66   M P a

b :   σ B = 14,49   M P a

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