Enunciado

A seção axial dos dois discos circulares correspondentes é mostrada. Derive a expressão para o torque M necessário para girar o disco superior sobre o inferior fixo se a pressão p entre os discos segue a relação p = k / r², onde k é uma constante a ser determinada. O coeficiente de atrito µ é constante em toda a superfície.

Passo 1

Uma vez que a pressão não é constante (é inversamente proporcional a radins), não podemos definir a posição da força de atrito resultante a não ser usando integração

Imagine uma pequena superfície de área diferente

d A = d r ⋅ r s i n ⁡ ( d θ )

Uma vez que o seno de ângulo diferente é igual ao próprio ângulo, podemos escrever a expressão para dA como

d A = r ⋅ d r d θ

Com a força dP atuando nela, que é igual ao produto da pressão p e da área dA

d P = p ⋅ d A d P = p ⋅ r ⋅ d r d θ

Substituiremos por   k r 2

d P = k r 2 ⋅ r ⋅ d r d θ d P = k r ⋅ d r d θ (2)

Então a força de atrito F atuando na superfície diferente de forma pequena será

d F = μ ⋅ d P d F = μ ⋅ k r ⋅ d r d θ

Passo 2

O momento que o atrito da superfície diferente está causando é

d M = r ⋅ d F

Podemos substituir dF pela expressão (2)

d M = r ⋅ μ ⋅ k r ⋅ d r d θ d M = μ ⋅ k ⋅ d r d θ

O momento de fricção é igual à soma de todos os pequenos momentos dM diferentes ao longo do intervalo de θ = [ 0,2 π ] , r = ∣ r i , r o

M = ∫   d M

Vamos substituir dM pela expressão (3)

M = ∫ 0 2 π   ∫ r i r 0   μ ⋅ k ⋅ d r d θ M = μ ⋅ k ⋅ 2 π r 0 r 0 ( r ) M = μ ⋅ k ⋅ 2 π r o - r i                                                                                   ( 4 )

Passo 3

Agora, vamos definir a constante k

A pressão entre os discos é igual à soma de todas as pressões diferentes dP pequenas ao longo da faixa de θ = [ 0,2 π ] , r = r i , r o

P = ∫   d P

Substituiremos dp pela expressão(1)

P = ∫ 0 2 π   ∫ r i t 0   k r ⋅ d r d θ

Como sabemos que a pressão entre os discos é igual à força axial aplicada a eles, podemos substituir P ​​por L

L = ∫ 0 2 π     ∫ r 1 r 0     k r ⋅ d r d θ L = k ⋅ 2 π ∫ r i r 0     1 r ⋅ d r L = k ⋅ 2 π r i r 0 [ l n ⁡ ( r ) ] L = k ⋅ 2 π l n ⁡ r 0 - l n ⁡ r i

A partir da expressão acima, podemos expressar k

k = L 2 π l n ⁡ r o - l n ⁡ r i (5)

Finalmente, vamos substituir k pela expressão (5) na expressão (4)

M = μ ⋅ k ⋅ 2 π r o - r i                                                                             ( 4 ) M = μ ⋅ L 2 π ln ⁡ r o - ln ⁡ r i ⋅ 2 π r o - r i                            

M = μ L r o - r i l n ⁡ r o - l n ⁡ r i

Resposta

M = μ L r o - r i l n ⁡ r e - l n ⁡ r i

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