Enunciado

O eixo de raio r se ajusta livremente no mancal radial. Se o eixo transmite uma força vertical P ao mancal e o coeficiente e atrito cinético entre o eixo e o mancal é μ s , determine o torque M necessário para girar o eixo com velocidade constante.

Passo 1

Cara, temos um eixo dentro de um mancal e ele sofre uma força axial, que é transmitida ao mancal como uma força para baixo. A parada é que o mancal vai causar uma reação nesse cara, de mesmo módulo, para cima.

Mas essas forças não tem a mesma linha de ação, aí esse parzinho gera um momento dado pela fórmulinha:

M e = R   r   s e n   ϕ s

Onde R é a força de reação do mancal, lembra que ela tem o mesmo módulo da força P transmitida pelo eixo? Então:

M e = P   r   s e n   ϕ s

r é o raio do eixo, e ϕ s é o ângulo do coeficiente de atrito cinético.

Como ele quer o momento para girar esse eixo com velocidade constante, ele quer uma situação em equilíbrio.

∑ M = 0

Se a gente tem dois momentos atuando no eixo, esse gerado pelo par de forcinhas e o momento que o enunciado pede M , a gente pode fazer o somatório de momentos no eixo:

∑ M = 0 → M - M e = 0 → M = M e

Então o momento que a gente quer é dado por

M = P   r   s e n   ϕ s

Só falta achar quem é esse seno aí, e é vitória!

Passo 2

O livro nos dá essa relação para ϕ k :

t a n ϕ s = μ s N N = μ s

Daí a gente pode lembrar que a tangente de um ângulo é:

t a n g e n t e = C a t e t o   o p o s t o C a t e t o   a d j a c e n t e

Comparando com

t a n ϕ s = μ s 1

Temos um triângulo retângulo que contem o ângulo ϕ s , cujo o cateto oposto é μ s e o cateto adjacente é 1 . Vamos desenhar esse bonito e completar o lado que falta com Pitagoras:

Daí a gente pode tirar o seno de ϕ s :

s e n   ϕ s = c a t e t o   o p o s t o h i p o t e n u s a = μ s μ s 2 + 1

Passo 3

Aí substituindo isso na nossa expressão do momento:

M = P   r   s e n   ϕ s

M = P   r   μ k 1 + μ k 2

Resposta

O torque M necessário para girar o eixo com velocidade constante é igual a:

M = P   r   μ k 1 + μ k 2

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