Enunciado

A barra rígida é apoiada pelos dois postes curtos de pinho branco e uma mola. Se o comprimento dos postes quando não carregados for 1   m e a área de seção transversal for 600   mm 2 e a mola tiver rigidez k = 2   MN/m e comprimento 1,02   m quando não deformada, determine o deslocamento vertical de A e B após a aplicação da carga à barra.

Passo 1

Uma barra rígida tem como suporte dois postes de pinho branco (espruce branco) e uma mola. Um carregamento distribuído é colocado sobre a barra.

Características dos postes em A e B :

  • Pinho branco (espruce branco): E = 9,65   GPa. (Tabelado)
  • Área: 600   mm 2 .
  • Comprimento inicial: 1   m .

Características da mola:

  • Rigidez: k = 2   MN/m .
  • Comprimento quando livre: 1,02   m

O carregamento de 50   kN/m é distribuído linearmente ao longo de 2   m sobre a barra.

É importante notar já de cara que o comprimento dos postes é menor que o comprimento livre da mola. Isso significa que a mola já vai estar exercendo uma força por causa dessa compressão, além de outras deformações que podemos achar.

Queremos saber o quanto os postes em A e B se deslocam durante a deformação deles.

Pela fórmula da relação carga-deslocamento, temos

δ = F   L A   E

Para poder usar essa fórmula, só nos falta conhecer as forças. Então primeiro temos que descobrir as forças F A e F B que atuam nos postes.

Passo 2

Estamos procurando por forças, então comecemos com o diagrama de corpo livre.

Há uma simetria do diagrama em relação a C . Fazendo o equilíbrio de momentos nesse ponto:

∑ M C = 0 → 1 F A + 1 ⋅ 50 =   1 F B + 1 ⋅ 50

F A = F B

Show! Agora o equilíbrio de forças na vertical:

∑ F = 0 → 2 F A + F C = 2   m ⋅ 50   kN/m = 100   kN

A força F C é desenvolvida por uma mola de rigidez k . Se substituirmos a relação linear F = k δ de uma mola na última equação, chegamos em

2 F A + k δ C = 100   kN

Atenção que nessa equação a variável δ C significa a compressão total que a mola sofre em relação ao seu comprimento livre de 1,02   m .

Temos uma equação e duas incógnitas ( F A e δ C ). Precisamos de mais uma equação.

Passo 3

Primeiro temos que lembrar que a mola já começa comprimida 1,02 - 1 = 0,02   m desde o início do problema. Depois disso, como a barra é rígida e há simetria, a compressão adicional da mola vai ser o mesmo deslocamento dos postes. Essa será a condição de compatibilidade:

0,02 + δ A = δ C

Enfatizando: a compressão total δ C da mola é 0,02   m (antes do carregamento) mais o deslocamento δ A dos postes (deformação após carregamento).

Passo 4

A partir daqui é tudo fácil! Use a fórmula da relação carga-deslocamento para o poste!

δ = F   L A   E → 0,02   m   + F A   L A   E = δ C

Substitua o que encontramos para δ C em 2 F A + k δ C = 100   kN para achar as forças

2 F A + 0,02 k + F A   L   k A   E = 100   kN

2 F A + 0,02   m ⋅ 2   MN/m   + 1   m ⋅ 2   MN/m 600   mm 2 ⋅ 9,65   GPa F A   = 100   kN

2,3454 F A = 60   kN

F A = 25,58   kN

E como F A = F B :

F B = 25,58   kN

Passo 5

Com o valor da força F = 25,58   kN , podemos colocar na fórmula para achar o deslocamento dos postes:

δ = F   L A   E → δ A = δ B = 25,58   kN ⋅   1 m 600   mm 2 ⋅ 9,65   GPa = 4,418   mm

Resposta

Deslocamento de A e B : δ A = δ B = 4,418   mm

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