Enunciado

Para o sistema de duas forças do Prob. 2/157, determine as coordenadas do ponto no plano x - z por onde passa a linha de ação da resultante do sistema.

Passo 1

Fala galera! Tudo certo? Vamos dividir a resolução em algumas etapas, beleza? Prometo que vai ser bem rapidinho!

O enunciado nos pede para determinar as coordenadas x e z da interseção da linha de ação da resultante do sistema, composto por duas forças, com o plano x - z . Note que este problema é equivalente a encontrar um momento torçor que defina o sistema. Pois calculando o torçor, encontraremos esse ponto de interseção da resultante  R → com o plano x - z .

Show! Vamos começar definindo a resultante que substitui o sistema original, composto pelas forças de 600   N e 800   N .

R → = F 1 → + F 2 →

R → = 0 i ^ + 600 sen ⁡ 30 ° j ^ + 600 cos ⁡ 30 ° k ^ + 0 i ^ - 800 sen ⁡ 45 ° j ^ + 800 cos ⁡ 45 ° k ^   N

R → = 0 i ^ - 266 j ^ + 1085 k ^   N

Passo 2

Agora temos que encontrar um momento, mas não sabemos sobre qual ponto, então vamos considerar um ponto qualquer P no plano x - z cujas coordenadas são ( x ,   0 ,   z ) e calculamos o momento sobre ele:

M P → = r 1 → × F 1 → + r 2 → × F 2 →

M P → = - 80 - x i ^ + 0 j ^ + ( 0 - z ) k ^ × 0 i ^ + 600 sen ⁡ 30 ° j ^ + 600 cos ⁡ 30 ° k ^ + 160 - x i ^ + 0 j ^ + ( 0 - z ) k ^ × 0 i ^ - 800 sen ⁡ 45 ° j ^ + 800 cos ⁡ 45 ° k ^

M P → = - 80 - x 600 sen ⁡ ( 30 ° ) k ^ - - 80 - x 600 cos ⁡ 30 ° j ^ - - z 600 sen ⁡ 30 ° i ^ - 160 - x 800 sen ⁡ 45 ° k ^ - 160 - x 800 cos ⁡ 45 ° j ^ + - z 800 sen ⁡ 45 ° i ^

M P → = z 600 sen ⁡ 30 ° - 800 sen ⁡ 45 ° i ^ + 80 + x 600 cos ⁡ 30 ° - 160 - x 800 cos ⁡ 45 ° j ^ + - 80 - x 600 sen ⁡ 30 ° - 160 - x 800 sen ⁡ 45 ° k ^

M P → = - 266 z i ^ + 80 + x 519,6 - 160 - x 565,7 j ^ + - 80 - x 300 - 160 - x 565,7 k ^

M P → = - 266 z i ^ + 1085 x - 48940 j ^ + 266 x - 114510 k ^

Passo 3

Trabalhoso né? Mas aguenta firme que estamos caminhando! ;)

Vamos guardar essa expressão por enquanto. Precisamos ainda que esse momento e a força resultante calculada no Passo 1 sejam paralelos. Isso pode ser feito encontrando o vetor unitário na direção de R → e igualando suas componentes com a do vetor unitário na direção do momento, já que, uma vez que eles estão na mesma direção, suas componentes devem ser as mesmas.

Para a resultante temos:

n ^ R = R → R

n ^ R = - 266 j ^ + 1085 k ^ - 266 2 + 1085 2

n ^ R = - 0,2381 j ^ + 0,9712 k ^

E para o momento:

n ^ M = M → M

n ^ M = - 266 z i ^ + 1085 x - 48940 j ^ + 266 x - 114510 k ^ M

n ^ M = - 266 z i ^ M + ( 1085 x - 48940 ) j ^ M + ( 266 x - 114510 ) k ^ M

Passo 4

Ainda tem coisa pra fazer?

Calma que tá acabando galera!

Retomando nosso raciocínio, como as coordenadas dos vetores unitários n ^ R e n ^ M devem ser iguais: 0 = - 266 z M - 0,2381 = ( 1085 x - 48940 ) M   0,9712 = ( 266 x - 114510 ) M

Da primeira equação temos que:

z = 0

Da segunda:

M = ( 1085 x - 48940 ) - 0,2381

E da terceira:

M = ( 266 x - 114510 ) 0,9712

Igualando as equações de M :

( 1085 x - 48940 ) - 0,2381 = ( 266 x - 114510 ) 0,9712

∴ x = 66,9   m m

Assim encontramos as coordenadas x e z do ponto P.

Substituindo esse valor de x em uma das equações de M , podemos ainda determinar o momento:

M = 266 * 66,9 - 114510 0,9712

M = - 99583   N ∙ m m

M = - 99,6   N ∙ m

Ufa! Essa já foi hein? Partiu pra próxima!

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Resposta

x = 66,9   m m

z = 0

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