Enunciado

O sistema mostrado na figura está em equilíbrio quando 0. Sabendo que inicialmente ϕ = 90 ° e que o bloco C está em movimento suave e muito lento quando o sistema está naquela posição, determine a velocidade do bloco quando ele passar pela posição de equilíbrio ϕ = 0 . Despreze o peso da barra.

Fonte: Beer – Dinâmica – 9ª ed

Passo 1

Fala aí, tudo bem?

Vamos para mais um exercício do nosso lindo capítulo 13!

Bem, vamos analisar o problema de utilizando nossa amiga conservação de energia. Mas antes, devemos encontrar alguns valores que o problema não nos trouxe.

Façamos nossas considerações:

  1. Pelo enunciado, podemos desconsiderar a velocidade do sistema quando ϕ = 90 0 , assim a energia cinética nesse momento será nula;
  2. O problema quer a velocidade quando ϕ = 0 , nosso método de resolução será: Encontrar a energia mecânica nos dois momentos ( ϕ = 90   e   ϕ = 0 ) e utilizar a conservação da energia, de forma que nossa única incógnita seja a velocidade em ϕ = 0 .
  3. Como iremos analisar os dois instantes, façamos nosso referencial (h = 0) o ponto onde ϕ = 0 , assim, nesse instante, a energia potencial gravitacional será nula.

Passo 2

Bem, analisemos primeiro quando ϕ = 0 :

Pode-se perceber que nesse instante teremos energia cinética, potencial gravitacional e potencial elástica.

Porém não temos argumentos suficientes para encontrar a energia potencial elástica. Para isso, devemos fazer o bom e velho diagrama do corpo livre, como no esboço abaixo:

O ângulo θ formado entre a mola e a barra AC pode ser encontrado por um simples Pitágoras:

t a n θ = 1,1 0,3         →       θ = tan - 1 ⁡ 1,1 0,3           → θ = 74,745 0

O comprimento L B D pode ser encontrado por um simples Pitágoras:

L B D = 1,1 2 + 0,3 2         →       L B D = 1,14   m

Passo 3

Agora, fazendo o somatório do momento em A, temos:

∑ M A = 0           →       0,3 * F e l a s s e n θ - 2,55 * 9,81 * 2,1 = 0

Substituindo os valores:

0,3 * F e l a s s e n 74,745 - 2,55 * 9,81 * 2,1 = 0             →     F e l a s = 181,52   N

Como sabemos que F e l a s = K Δ L B D :

181,52 = 600 * Δ L B D           → Δ L B D = 0,302   m

E L 0 = L B D - Δ L B D = 0,837   m (comprimento não alongado)

Vamos, então, encontrar a energia mecânica nesse instante:

E M = E C + E E l a s

Assim:

E M 1 = 1 2 2,55 * v 1 2 + 1 2 600 0,302 2

Passo 4

Analisando agora quando ϕ = 90 0 :

O Δ L B D ' nesse instante pode ser encontrado: Δ L B D ' = 1,1 + 0,3 - L 0       →   Δ L B D ' = 0,563   m

Assim, a energia mecânica nesse instante se dá por:

E M = E P + E E l a s

Assim:

E M 2 = 2,55 * 9,81 * ( - 2,1 ) + 1 2 600 0 , 563 2

Passo 5

Por fim, a conservação da energia nos diz que E M 1 = E M 2 , então:

1 2 2,55 * v 1 2 + 1 2 600 0,302 2 = 2,55 * 9,81 * ( - 2,1 ) + 1 2 600 0,563 2

Fazendo os cálculos, encontramos que:

v 1 = 3,45   m s

Resposta

Portanto:

v 1 = 3,45   m s

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