Enunciado

Solucione o Problema 13.97 se o movimento ocorre no plano vertical.

Passo 1

Do enunciado do Problema 13.97, temos as seguintes informações:

Massa da lata: m = 0,75   k g

Velocidade angular do braço: θ ˙ = 2   r a d / s

Aceleração angular: θ ¨ = 0,4   r a d / s 2

Movimento no plano vertical.

A questão pede para determinar a força exercida pelo braço sobre a lata no instante em que θ = 30 ° , sabendo que o movimento ocorre no plano vertical.

Neste caso, como o movimento ocorre no plano vertical, teremos que adicionar ao diagrama de corpo livre a ação da força peso W = m g . Obtemos o seguinte diagrama:

Onde N é a força normal exercida pelo contanto da lata com a parede e F é a força exercida pela barra.

Lembre-se de que a força normal é perpendicular à tangente do movimento. Como o movimento corresponde à um semi circulo de raio 0,5m, a direção de N será a mesma do raio deste semi círculo.

Passo 2

Da figura fornecida, vemos que r pode ser relacionada a θ pela equação

r = ( 0,5 + 0,5 ) cos ⁡ θ

r = cos ⁡ θ

Portanto, as derivads temporais em r são:

r ˙ = d r d t = - θ ˙ sen ⁡ θ   m / s

r ¨ = d 2 r d t 2 = - θ ˙ 2 cos ⁡ θ - θ ¨ sen ⁡ θ   m / s 2

Para   θ = 30 ° :

θ ˙ = 2   r a d / s

θ ¨ = 0 , 4   r a d / s 2

r = 0,866   m

r ˙ = d r d t = - 1   m / s

r ¨ = d 2 r d t 2 = - 3,66   m / s 2

Passo 3

Sabemos que as componentes da aceleração nas coordenadas r e θ são dadas por

a r = r ¨ - r θ ˙ 2

a θ = r θ ¨ + 2 r ˙ θ ˙

Logo,

a r = - 3,66 - 0,866 ( 2 2 ) = - 7,13   m / s 2

a θ = 0,866 0,4 + 2 ( - 1 ) ( 2 ) = - 3,65   m / s 2

Passo 4

Agora vamos descobrir o ângulo com que a força normal é aplicada ao cilindro.

Pela análise trigonométrica do seguinte triângulo, vemos que se trata de um triângulo isósceles onde θ e α são os ângulos de base. Portanto,

θ = α = 30 °

Passo 5

Aplicaremos as Equações do Movimento.

Sabemos que W = m g e g = 9,81   m / s 2 .

Analisando no eixo r , temos que

∑ F r = m a r

N cos ⁡ α - W sen ⁡ 30 ° = m a r

N cos ⁡ 30 ° = 0,75 - 7,13 + 0,75 9,81 sen ⁡ 30 °

N = - 1,93   N

O sinal negativo de N significa que o sentido em que a força está sendo aplicada é oposto ao desenhado no diagrama de corpo livre.

Analisando no eixo θ , temos que

∑ F θ = m a θ

F + N sen ⁡ α - W cos ⁡ 30 ° = m a θ

F = 0,75 - 3,65 - - 7,73 sen ⁡ 30 ° + 0,75 9,81 cos ⁡ 30 °

F = 4,59   N

Resposta

F = 4,59   N

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