Enunciado

Substitua a corrente do problema 4 / 88 por uma corda flexível ou uma corrente de bibicleta de massa ρ por unidade de comprimento e comprimento total L . A extremidade livre é liberada a partir do repouso em x = 0 e cai sob a influência da gravidade. Determine a aceleração a da extremidade livre, a força R na extremidade fixa e a tração T 1 na corda da curva, todas em termos de x . (Note que a é maior do que g . O que acontece com a energia do sistema quando x = L ?).

Figura do problema 4 / 88 :

Passo 1

Primeiro queremos encontrar uma expressão para a aceleração em termos de x .

Inicialmente, cada lado da corda (o que está preso e o que está livre) tem um comprimento L / 2 . Conforme o lado livre cai por uma altura x , o comprimento de cada lado vira:

L p r e s o = L + x 2

L s o l t o = L - x 2

Vamos pensar na energia mecânica da corda. A variação da energia cinética acontece porque a massa do lado solto ganha uma velocidade v :

Δ T = 1 2 ρ L - x 2 v 2 = 1 4 ρ L - x v 2

Agora vamos pensar na variação de energia potencial gravitacional, definido que o zero é a altura do teto.

Quando a massa do lado livre cai por uma altura x , a variação de energia é:

Δ U 1 = ρ g L - x 2 - x = - 1 2 ρ g L - x x

E para essa mesma queda por uma altura x , um pedaço de comprimento x / 2   que “passa para o outro lado” durante o deslocamento dá:

Δ U 2 = ρ g x 2   - x 2

E então:

Δ U = Δ U 1 + Δ U 2 = - 1 2 ρ g x L - x 2

Passo 2

Agora vamos aplicar a lei de conservação de energia:

Δ T + Δ U = 0

1 4 ρ L - x v 2 = 1 2 ρ g x L - x 2

E agora vamos isolar a velocidade:

v 2 = 2 g x L - x 2 ( L - x )

Mas nosso objetivo é encontrar uma expressão para a aceleração em função do deslocamento, então vamos reescrever:

a = d v d t = d v d x d x d t = v d v d x

a   d x = v   d v

Para podermos aproveitar nosso resultado de cima com mais facilidade, vamos escrever o seguinte:

d v 2 = 2   v   d v

Então:

a = 1 2 d v 2 d x

Passo 3

Então vamos usar a expressão que encontramos para v 2 para calcular essa derivada:

a = 1 2 d v 2 d x

a = 1 2 d d x 2 g x L - x 2 L - x

E precisamos usar a regra do quociente:

a = g d d x L x - x 2 2 L - x

a = g L - x L - x - - 1 L x - x 2 2 L - x 2

a = g   L - x 2 + ( x ) ( L - x / 2 ) L - x 2

a = g 1 + x L - x 2 L - x 2

Passo 4

Agora vamos pensar nas forças que atuam sobre a corda. A soma das forças externas precisa ser igual à taxa de variação da quantidade de movimento:

∑ F y = G ˙ y

Nesse caso as duas forças externas que agem sobre a corda (inteira) são o peso e a força R na extremidade fixa:

∑ F y = ρ g L - R

E momento linear está associado à velocidade da parte livre da corda:

G y ˙ = d d t ρ L - x 2 v

Pela regra do produto:

G y ˙ = ρ 2 L - x a - ρ 2 v 2

E agora substituindo tudo na primeira equação:

ρ g L - R = ρ 2 L - x a - ρ 2 v 2

R = - ρ 2 L - x a - v 2 + ρ g L

E vamos substituir nossas expressões para a e para v e isolar R :

R = - ρ 2 g L - x + g x L - x 2 L - x - 2 g ( x ) L - x 2 ( L - x ) + ρ g L

R = - ρ 2 g L - x - g x L - x 2 L - x + ρ g L

R = ρ g 2 x - L + x L - x 2 L - x + 2 L

R = ρ g 2 x + L + x L - x 2 L - x

E essa é a expressão que estávamos procurando.

Passo 5

Agora queremos achar a tração T 1 na corda. O jeito mais fácil de encontrar essa expressão é considerar a parte fixa da corda. Já vimos que o seu peso é:

P = ρ g L + x 2

E a tração T 1 está apontando no mesmo sentido. Para que a parte fixa permanece em repouso essas duas forças precisam se igualar à força R que acabamos de calcular:

P + T 1 = R

T 1 = R - P

T 1 = ρ g 2 x + L + x L - x 2 L - x - ρ g L + x 2

T 1 = ρ g 2 x L - x 2 L - x

Pronto!

Resposta

A força é R = 1 2 ρ g ( L + 3 x ) , a tração é T 1 = ρ g x e a perda de energia é Q = 1 4 ρ g L 2 .

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