Enunciado

A suspensão dianteira de eixo duplo é usada em caminhões pequenos. Em um teste do comportamento projetado, o chassi F deve ser levantado com um macaco de forma que h = 350   m m , para relaxar a compressão nas molas dos amortecedores. Determine o valor de h quando o macaco é removido. Cada mola tem uma rigidez de 120 kN/m. A carga L vale 12 kN e o chassi central F tem uma massa de 40 kg. Cada roda e sua conexão associada tem uma massa de 35 kg com centro de massa a 680 mm da linha de centro vertical.

Passo 1

Pelo princípio do trabalho virtual, se o sistema está em equilíbrio e o deslocarmos levantando as rodas de uma altura infinitesimal δ h , o trabalho virtual total realizado pelas forças ativas deve ser igual à variação de energia potencial:

δ U = δ V

As única forças ativas externas ao sistema (forças que realizam trabalho) são a força N normal que o solo aplica nas rodas e o peso das rodas. Vamos considerar o chassi fixo, de modo que a energia potencial gravitacional dessa parte não varie. O movimento da roda da esquerda será em torno do ponto A , e o da roda da direita será semelhante. A força potencial δ V é dada pela energia potencial elástica da mola e a energia potencial gravitacional das rodas, e o trabalho virtual δ U é realizado pelas forças N do chão. Vamos calcular δ U e δ V para um pequeno aumento δ h da altura da roda, e então igualar.

Passo 2

Primeiro vamos calcular as forças N aplicadas pelo solo. Pelo equilíbrio das forças verticais, elas juntas devem ser iguais a soma dos pesos das rodas de massa 35 kg cada, do chassi de 40 kg e da carga de 12 kN:

2 N = 40 × 9,81 + 35 × 2 × 9,81 + 12000 = 13080

⇒ N = 6540   N

O trabalho realizado pelas forças para um aumento δ h da altura da roda é então:

δ U = 2 × 6540   δ h = 13080   δ h

Passo 3

Agora vamos calcular a variação da energia potencial gravitacional das rodas. Considerando que o mecanismo gira em torno de A , devemos achar a variação δ y da altura das rodas em função de δ y :

Pela Semelhança de triângulos:

δ h 1150 = δ y 1080

⇒ δ y = 1080 1150 δ h = 0,9391   δ h

Então a variação da energia potencial das rodas será:

δ V g = 2 m g   δ y = 2 × 35 × 9,81 × 0,9391   δ h

δ V g = 664,9   δ h

Passo 4

Finalmente, vamos agora calcular a variação da energia potencial da mola. A compressão x da mola pode ser calculada semelhante ao modo como fizemos a relação entre δ y e δ h . Como consideramos o ponto A fixo e a roda esquerda levantando, após o removimento do macaco a roda se moveu 0,35 - h , e então a mola sofreu uma compressão:

x = 900 1150 0,35 - h = 0,7826 ( 0,35 - h )

Podemos calcular também a adição δ x da compressão da mola em função de δ h :

δ x = 900 1150 δ h = 0,7826   δ h

A energia potencial das duas molas juntas é:

V e l = 2 ⋅ 1 2 k x 2 = k x 2

Derivando, obtemos o valor da variação infinitesimal da energia potencial elástica:

δ V e l = 2 k x   δ x

A constante k da mola é igual a 120000   k N / m :

δ V e l = 240000 x   δ x

Substituindo os valores em função de h :

δ V e l = 240000 × 0,7826 0,35 - h × 0,7826   δ h

δ V e l = 147000 0,35 - h δ h = 51450 - 147000 h δ h

Passo 5

Como foi dito no Passo 1, pelo Princípio do Trabalho Virtual a variação da energia potencial deve ser igual ao trabalho:

δ U = δ V = δ V g + δ V e l

Então:

13080   δ h = 664,9   δ h + 51450 - 147000 h δ h

Cortando δ h , obtemos o valor de h :

13080 = 644,9 + 51450 - 147000 h

⇒ 147000 h = 51450 + 644,9 - 13080

⇒ 147000 h = 39020

⇒ h = 39020 1470000 = 0,265   m = 265   m m

Resposta

h = 265   m m

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