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A tensão em um ponto é mostrada no elemento. Determine as tensões principais e a tensão de cisalhamento máxima absoluta.

Passo 1

Fala galera, bora para mais um exercício de resmat. Esse tipo de questão tem um passo a passo bem definido. Bora seguir!

Primeriro, a gente identifica o plano que não tem tensões cisalhantes. É o plano z x , certo? O interessante, é que a gente pode dizer de cara que a tensão normal nele é uma tensão principal! Maneiro, né?

Achamos então nossa primeira tensão principal

σ = - 100   M P a

E e aí, para achar as outras tensões principais, nosso problema vira um estado plano de tensões. Com essa carinha:

Vamos resolver esse problema que surgiu!

Passo 2

Vamos resolver ele pelo círculo de Mohr.

Temos que determinar o centro do círculo, definido como:

σ m é d = σ x + σ y 2 = 90 - 80 2 σ m é d = 5   M P a

O segundo ponto que vamos determinar representa as tensões no eixo x do seu estado de tensões e é definido como:

σ x , τ x y ( - 80,40 )

Tendo estes dois pontos, podemos liga-los e assim temos o raio do círculo. Seu esboço vai ser assim:

Repara que a gente també colocou ai o ponto que representa a tensão em y , de coordenada σ y , - τ x y = 90 , - 40 .

Passo 3

Para determinarmos as tensões principais usando o círculo de Mohr, precisamos calcular o raio do círculo. Temos:

R = σ x - σ y 2 2 + τ x y 2 R = 90 - - 80 2 2 + 40 2   R = 93,94   M P a  

Com isso, podemos calular as nossas tensões principais σ 1 e σ 2 , dadas por:

σ 1 = σ m é d + R σ 2 = σ m é d - R

Substituindo, temos:

σ 1 = 5 + 93,94 σ 1 = 98,94   M P a    

  σ 2 = 5 - 93,94 σ 2 = - 88,94   M P a

Passo 4

Agora a gente tem as 3 tensões principais do nosso estado triaxial:

σ = 98,94   M P a    

σ = - 88,94   M P a    

σ = - 100   M P a   ( p a s s o   1 )

Aí a gente pode colocar o nome delas certinho, comparando os valores dessas tesões entre si.

A tensão máxima é:

σ m á x = 93,94   M P a

E para a tensão mínima, temos:

σ m í n = - 100   M P a

Para a tensão, intermediária, temos:

σ 2 = - 88,94   M P a

Passo 5

Por fim, podemos determinar a tensão de cisalhamento máxima absoluta a partir da fórmula:

τ m á x   a b s = σ m á x - σ m í n 2 τ m á x   a b s = 93,94 - - 100 2 τ m á x   a b s = 99,47   M P a

Resposta

σ m á x = 93,94   M P a

σ i n t = - 88,94   M P a

σ m í n = - 100   M P a

τ m á x   a b s = 99,47   M P a

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