Enunciado

Um teste de vibrações é realizado para verificar a adequação do projeto dos mancais A e B . O rotor desbalanceado e o eixo incorporado possuem uma massa combinada de 2,8   k g . Para determinar a posição do centro de massa, um torque de 0,600   N ∙ m é aplicado ao eixo para mantê-lo em equilibrio em uma posição a 90 ° da posição mostrada. Um torque constante M = 1,5   N ∙ m é então aplicado ao eixo, que atinge uma velocidade de 1200   r p m em 18   rotação a partir do repouso. (Em cada rotação a aceleração angular varia, mas seu valor médio é o mesmo que para a aceleração constante.) Determine (a) o raio de giração k do rotor e do eixo em relação ao eixo de rotação, (b) a força F que cada mancal exerce sobre o eixo imediatamente após M ser aplicado, e (c) a força R exercida por cada mancal quando a velocidade de 1200   r p m é atingida e M é removido. Despreze qualquer resistência relativa ao atrito e as forças no mancal devidas ao equilíbrio estático.

Passo 1

O eixo atinge uma velocidade de 1200   r p m em 18 rotações a partir do repouso. Podemos usar essa informação para calcular a aceleração angular média:

ω = 1200   r p m = 1200 2 π ( 60 )   r a d / s

ω 0 = 0

Δ θ = 18 2 π   r a d

Então:

ω 2 = ω 0 2 + 2 α Δ θ

1200 2 π 60 2 = 2 α 36 π

α = 69,8   r a d / s 2

Passo 2

Outra informação que podemos tirar do enunciado é a posição do centro de massa. O eixo fica em equilíbrio em uma posição a 90 ° da mostrada na figura, quando um torque M = 0,600   N ∙ m é aplicado.

Isso quer dizer que esse torque é suficiente para compensar o torque da força peso do rotor e do eixo, e assim manter o equilíbrio:

M = m g d

Onde d é a distância entre o centro de masssa do rotor e o eixo que passa pelos mancais:

d = M m g = 0,600 ( 2,8 ) ( 9,81 ) = 0,0240   m

Passo 3

(a) Ok, agora vamos calcular o que foi pedido. Primeiro queremos o raio de giração k do rotor e do eixo, em relação ao eixo de rotação.

Nós vimos que um momento de 1,5   N ∙ m produziu uma aceleração angular α = 69,8   r a d / s 2 , então:

M = I α

I = 1,5 69,8 = 0,0215   k g   m 2

Mas podemos reescrever o momento de inércia em função do raio de giração:

I = k 2 m = 0,0215

k = 0,0215 2,8 = 0,0876   m

Passo 4

(b) Quando o sistema se move com aceleração angular α = 69,8   r a d / s 2 , qual a aceleração tangencial do centro de massa?

Nós já calculamos que a distância do centro de massa até o eixo é d = 0,0240   m , então:

a t = α d = 69,8 0,0240 = 1,6752   m / s 2

E as únicas forças que agem na direção tangencial (imediatamente após a aplicação do momento) são as forças horizontais F em cada mancal:

∑ F t = m a t

2 F = m 1,6752

F = 2,8 1,6752 ( 2 ) = 2,35   N

Passo 5

(c) Quando o mancal atinge uma velocidade angular de ω = 1200   r p m = 125,7   r a d / s , e o momento deixa de ser aplicado, o sistema não tem mais aceleração tangencial.

Entretanto, como o eixo mantém a trajetória circular, e portanto ainda há uma resultante produzindo aceleração centrípeta:

∑ F n = m r ω 2

Essa resultante é justamente a soma da força R exercida por cada mancal:

2 R = m r ω 2

Onde r ω 2 é a aceleração centrípeta do centro de massa, então esse raio r é a distância d que calculamos antes:

R = m d ω 2 2 = 2,8 0,024 125,7 2 ( 2 )

R = 531   N

Resposta

(a) k = 0,0876   m .

(b) F = 2,35   N .

(c) R = 531   N .

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Duas barras AB e DE estão conectadas como mostra a figura. Sabendo que o ponto D desloca-se para a esquerda a uma velocidade de 1m / s , determine, no instante mostrado, (a) a velocidade angular de ca
Duas barras AB e DE estão conectadas como mostra a figura. Sabendo que o ponto B desloca-se para baixo com uma velocidade de 1,5m / s , determine, no instante mostrado, (a) a velocidade angular de cad
Descreva o centrodo espacial e o centrodo corporal da barra ABD do Problema 15.84. (Dica: o centrodo corporal não precisa estar sobre uma parte física da barra.)
A haste uniforme ABD de 4 kg está presa à manivela BC e é ajustada com uma pequena roda que pode rolar sem atrito ao longo de uma fenda vertical. Sabendo que no instante mostrado a manivela BC gira co