Enunciado

O sistema do Prob. 8/46 é repetido aqui. Se a barra curva A B possui agora uma massa m 2 e um raio de giração k O em relação ao ponto O , determine expressões para a frequência natural não amortecida ω n e para o fator de amortecimento ζ em termos das propriedades conhecidas do sistema. Assuma pequenas oscilações. O coeficiente de amortecimento para o amortecedor é c .

Passo 1

Vamos supôr que a barra sofra uma pequena oscilação em torno de O , de forma que o ponto A suba um pouco e o ponto B desça um pouco:

Usando a tangente do ângulo θ podemos escrever uma relação entre os deslocamentos:

x a = x B b       ⇒         x = a b x B

x ˙ B = b a x ˙

E para o ângulo θ :

x a = θ         ⇒         x ¨ = a θ ¨

Essas relações são importantes para podermos escrever a equação de movimento em relação a x .

Passo 2

Agora vamos olhar para as forças que agem sobre o cilindro na vertical (que se move ao longo do eixo que o enuncaido resolveu chamar de x ):

∑ F x = m 1 x ¨

Quando vemos um pequeno deslocamento do cilindro, as forças que agem sobre ele são as seguintes:

∑ F x = - T 1 - k x = m 1 x ¨

E agora vamos olhar para barra curva A B :

E podemos aplicar uma equação de momentos em torno do ponto O :

∑ M O = I θ ¨

a T 1 - b 2 T 2 = m 2 k O 2 θ ¨

E a força T 2 que aparece em B está ligada com compressor que tem constante de amortecimento c :

T 2 = c x ˙ B

T 2 = c b a x ˙ = c b a x ˙

Passo 3

Então ficamos com o seguinte sistema:

a T 1 - b T 2 = m 2 k O 2 θ ¨ - T 1 - k x = m 1 x ¨

Agora podemos aproveitar as relação que escrevemos no primeiro passo para substituir θ ¨ e T 2 :

a T 1 - c b 2 a x ˙ = m 2 k O 2 x ¨ a - T 1 - k x = m 1   x ¨

Vamos multiplicar a segunda equação por a e somar com a primeira:

a T 1 - c b 2 a x ˙ - a T 1 + k x a = m 2 k O 2 x ¨ a + m 1 x ¨ a

- c b 2 a x ˙ - k x a = m 2 k O 2 a + m 1 a   x ¨

m 2 k O 2 a + m 1 a x ¨ + c b 2 a x ˙ + k x a = 0

Agora vamos dividir tudo por a e reorganizar a equação:

x ¨ + c b 2 a 2 m 2 k O 2 a 2 + m 1 x ˙ + k m 2 k O 2 a 2 + m 1 x = 0

E essa é a equação de movimento que estávamos procurando.

Passo 4

Então ficamos com o seguinte sistema. Vamos comparar com a equação geral para o oscilador:

x ¨ + 2 ζ ω n + ω n 2 = 0

Então a frequência de oscilação é:

ω n = k m 2 k O 2 a 2 + m 1

E o fator de amortecimento é:

2 ζ ω n = c b 2 a m 2 k O 2 a + m 1

ζ = c b 2 a 2 ω n m 2 k O 2 a + m 1

ζ = c b 2 a 2 k m 2 k O 2 a + m 1

Resposta

A frequência natural é ω n = k m 2 k O 2 a 2 + m 1   e o fator de amortecimento é ζ = c b 2 a 2 k m 2 k O 2 a + m 1 .

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