Enunciado

60- Um tetraedro regular tem seis arestas de comprimento a . ( a ) Mostre que duas arestas opostas, tais como O A e B C , são perpendiculares entre si. ( b ) Use essa propriedade e o resultado obtido no Problema 3.59 para determinar a distância perpendicular entre as arestas O A e B C .

Passo 1

Da questão anterior nós encontramos que o vetor diretor B C vale:

λ B C = 1 2 i - 3 2 k

E o maior rolê foi encontrar λ O A e que vale:

λ O A = 1 2 i + 6 3 j + 1 2 3 k

E para saber se os dois vetores são perpendiculares basta fazer o produto vetorial dos dois vetores e saber se vai dar zero, se der zero os dois são perpendiculares:

λ B C . λ O A = 0

Fazendo essa conta:

λ B C . λ O A = 1 2 2 - 3 2 . 1 2 3 = 1 4 - 1 4 = 0

Como deu zero então os dois vetores são perpendiculares sim.

Passo 2

Uma vez que as retas são perpendiculares então podemos dizer que a distância d de distância entre as duas retas pode ser calculada pelo momento da força P na aresta B C na aresta O A ( e que é o que foi calculada na questão anterior ) logo :

M = F d

Como a força vale P e o momento vale a P 2 então a distância entre as retas vale:

a P 2 = P d → d = a 2

Resposta

d = a 2

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