Enunciado

Um trem de metrô com três vagões está percorrendo uma descida com 5 % de inclinação quando os freios individuais dos vagões são acionados simultaneamente. Cada vagão de 10   t pode gerar uma força de frenagem de 0,5 vez a força normal exercida sobre ele pelos trilhos. Determine a desaceleração a do trem e as forças T 1 e T 2 nos engates 1 e 2 para os casos em que

(a) todos os freios funcionam normalmente,

(b) os freios do vagão A falham,

(c) os freios do vagão B falham, e

(d) os freios do vagão C falham.

Passo 1

(a) Seja F a t a força de frenagem que cada vagão pode gerar, P a força peso de cada vagão, e N a normal sobre cada vagão. Considerando a direção de inclinação como a direção x , e a direção perpendicular como y , podemos afirmar que existe equilíbrio em y para cada vagão:

P y - N = 0

N = P y = m g cos ⁡ θ

Agora aplicamos a Segunda Lei de Newton ao trem na direção x , quando todos os freios funcionam normalmente:

3 P x - 3 F a t = M a

3 m g   s e n   θ - 3 0,5 N = 3 m a

m g   s e n   θ - 0,5 m g cos ⁡ θ = m a

a = g   ( s e n   θ - 0,5 cos ⁡ θ )

Para uma inclinação de 5 % , isso significa que o ângulo θ satisfaz:

t g   θ = 0,05

θ = t g - 1 0,05 = 2,86 °

Então a aceleração do trem será:

a = 9,8   s e n   2,86 ° - 0,5 cos ⁡ 2,86 °

a = - 4,4   m / s 2

Passo 2

Para calcular as forças T 1 e T 2 , podemos aplicar a Segunda Lei de Newton a cada vagão separadamente. Para o vagão A , temos:

P x - F a t - T 1 = m a

m g   s e n   θ - 0,5 m g cos ⁡ θ - T 1 = m a

T 1 = m   g   s e n   θ - 0,5 g cos ⁡ θ - a = m   ( a - a )

T 1 = 0   N

Aplicando agora a Segunda Lei de Newton ao vagão B :

P x + T 1 - F a t - T 2 = m a

m g   s e n   θ + 0 - 0,5 m g cos ⁡ θ - T 2 = m a

T 2 = m   g   s e n   θ - 0,5 g cos ⁡ θ - a = m   ( a - a )

T 2 = 0   N

Passo 3

(b) No caso em que os freios do vagão A falham, aplicamos a Segunda Lei de Newton ao trem na direção x :

3 P x - 2 F a t = M a

3 m g   s e n   θ - 2 0,5 m g cos ⁡ θ = 3 m a

a = g 3 ( 3   s e n   θ - cos ⁡ θ )

a = 9,8 3 3   s e n   2,86 ° - cos ⁡ 2,86 °

a = - 2,77   m / s 2

Aplicamos a Segunda Lei de Newton ao vagão A separadamente, lembrando que seus freios falham:

P x - T 1 = m a

m g   s e n   θ - T 1 = m a

T 1 = m   g   s e n   θ - a = 10000   9,8   s e n   2,86 ° - - 2,77

T 1 = 32600   N

Aplicando agora a Segunda Lei de Newton ao vagão B :

P x + T 1 - F a t - T 2 = m a

m g   s e n   θ + T 1 - 0,5 m g cos ⁡ θ - T 2 = m a

T 2 = T 1 + m   g   s e n   θ - 0,5 g cos ⁡ θ - a

T 2 = 32600 + 10000   9,8   s e n   2,86 ° - 0,5 ( 9,8 ) cos ⁡ 2,86 ° - - 2,77

T 2 = 16300   N

Passo 4

(c) No caso em que os freios do vagão B falham, a força resultante e a massa total do trem continuam as mesmas de quando os freios do vagão A falham, ou seja, a equação da Segunda Lei de Newton aplicada ao trem na direção x ficaria exatamente igual ao do item (b):

3 P x - 2 F a t = M a

o que nos dá a mesma aceleração calculada anteriormente:

a = - 2,77   m / s 2

Aplicando a Segunda Lei de Newton ao vagão A separadamente, obtemos T 1 :

P x - F a t - T 1 = m a

m g   s e n   θ - 0,5 m g cos ⁡ θ - T 1 = m a

T 1 = m   g   s e n   θ - 0,5 g cos ⁡ θ - a

T 1 = 10000   9,8   s e n   2,86 ° - 0,5 9,8 cos ⁡ 2,86 ° - - 2,77

T 1 = - 16300   N

É interessante notar aqui que o sinal deu negativo porque, ao contrário do que supusemos para o cálculo, a força T 1 empurra o vagão morro abaixo. Então, em módulo:

T 1 = 16300   N

Aplicamos agora a Segunda Lei de Newton ao vagão B , lembrando que seus freios falham:

P x - T 1 - T 2 = m a

m g   s e n   θ - T 1 - T 2 = m a

T 2 = m   g   s e n   θ - a - T 1

T 2 = 10000   9,8   s e n   2,86 ° - - 2,77 - 16300

T 2 = 16300   N

Passo 5

(d) Novamente, quando os freios do vagão C falham, a força resultante e a massa total do trem continuam as mesmas de quando os freios de qualquer um dos outros dois vagões falham, então a aceleração será a mesma:

a = - 2,77   m / s 2

Note que, quando os freios do vagão B ou C falham, a força resultante, a massa e a aceleração do vagão A são as mesmas, e portanto, teremos a mesma força T 1 obtida no item anterior, quando os freios de B falharam:

T 1 = 16300   N

Aplicando agora a Segunda Lei de Newton ao vagão C , cujos freios falharam:

P x - T 2 = m a

m g   s e n   θ - T 2 = m a

T 2 = m   g   s e n   θ - a

T 2 = 10000   9,8   s e n   2,86 ° - - 2,77

T 2 = 32600   N

Resposta

(a) a = - 4,4   m / s 2 , T 1 = T 2 = 0   N

(b) a = - 2,77   m / s 2 , T 1 = 32600   N , T 2 = 16300   N

(c) a = - 2,77   m / s 2 , T 1 = 163 00   N , T 2 = 16300   N

(d) a = - 2,77   m / s 2 , T 1 = 1630 0   N , T 2 = 326 00   N

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