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Três caixas em contato entre si são colocadas em um plano inclinado e são soltas a partir do repouso. Os coeficientes de atrito estático sob as caixas A , B e C valem 0,30, 0,20 e 0,35, respectivamente. Descreva o que ocorre.

Passo 1

Primeiro vamos analisar a situação onde os blocos estariam sozinhos. A condição para o não deslizamento com relação à força de atrito estática é dada por:

ϕ ≥ 15 °

15 ° é o ângulo de inclinação da rampa, e ϕ é o ângulo de atrito, dado por:

tan ⁡ ϕ = μ s ⇒ ϕ = arctan ⁡ μ s

Sendo μ s o coeficiente de atrito estático entre o bloco e a rampa. Vamos então calcular ϕ para cada bloco:

ϕ A = arctan ⁡ 0,3 = 16,7 °

ϕ B = arctan ⁡ 0,2 = 11,3 °

ϕ C = arctan ⁡ 0,35 = 19,3 °

A condição é satisfeita para A e C então esses blocos iriam ficar parados se estivessem sozinhos na rampa. A condição não é satisfeita para B , esse bloco iria deslizar para baixo.

Passo 2

Mas temos que descobrir o que acontece quando eles estão juntos. É claro que independente do que aconteça com os blocos A e B , C vai ficar parado, pois ninguém empurra ele para baixo e ele satisfaz a condição de não deslizamento. Temos que analisar então a situação entre A e B . Vamos usar uma suposição, de que A segura B e então B está na iminência de deslizar. Se obtivermos um coeficiente de atrito maior que 0,30 para A , a suposição está errada e os dois blocos irão deslizar. Vamos separar A e B em diagramas de corpo livre. A força de atrito em B será 0,20 vezes a normal pois o coeficiente de atrito é o estático, já que o bloco está na iminência de cair. No entanto, não sabemos ainda a relação entre a força de atrito e a normal em A .

Primeiro vamos fazer as equações de equilíbrio para B , para descobrir a força N com a qual ele empurra o outro bloco. A direção x é a direção paralela à rampa. Começamos fazendo na direção y . A inclinação do peso em relação a essa direção é de 15°:

∑ F y = 0 ⇒ N B = P B cos ⁡ 15 ° = m B g cos ⁡ 15 °

⇒ N B = 40 × 9,81 × cos ⁡ 15 ° = 379   N

Agora fazemos na direção x :

∑ F x = 0 ⇒ N + 0,2 N B - P B sen ⁡ 15 ° = 0

⇒ N = 40 × 9,81 × sen ⁡ 15 ° - 0,2 ( 379 )

⇒ N = 25,8   N

Passo 3

Agora vamos às equações para o corpo A . Começamos novamente com a direção y :

∑ F y = 0 ⇒ N A = P A cos ⁡ 15 ° = 20 × 9,81 × cos ⁡ 15 °

⇒ N A = 190   N

Agora na direção x achamos o valor da força de atrito F A :

∑ F x = 0 ⇒ - P A sen ⁡ 15 ° - N + F A = 0

⇒ F A = P A sen ⁡ 15 ° + N = 20 × 9,81 × sen ⁡ 15 ° + 25,8

⇒ F A = 76,6   N

Passo 4

Agora que temos a força de atrito e normal em A aplicadas pelo solo, vamos calcular o coeficiente de atrito:

μ = F A N A = 76,6 190 = 0,403

Esse valor passa do coeficiente de atrito estático μ s = 0,3 , portanto essa situação é impossível. Então tanto A quanto B irão deslizar.

Resposta

O bloco C ficará parado, A e B irão cair.

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