Enunciado

O tubo de aço A- 36 está acoplado aos colares em A e B . Quando a temperatura é 15   ° C , não há nenhuma carga axial no tubo. Se o gás quente que passa pelo tubo provocar uma elevação de Δ T = 20 + 30 x   ° C na temperatura do tubo, onde x é dado em metros, determine a tensão normal média no tubo. O diâmetro interno é 50   mm , e a espessura da parede é 4   mm .

Passo 1

Um tubo de aço está entre duas paredes e é aquecido.

Características do tubo de aço:

  • Aço  A- 36 : E = 200   GPa , α = 12 10 - 6   ° C - 1 . (Tabelado)
  • Comprimento inicial: L = 2,4   m .
  • Diâmetro interno: d = 50   mm . Espessura: e = 4   mm .

O tubo é aquecido continuamente. Ele irá expandir contra as paredes, que irão resistir com uma força F . Essa força causa uma tensão normal no tubo?

σ = F A

Queremos achar essa tensão!

Passo 2

Vejamos o que acontece com o tubo:

  • O aumento de temperatura vai causar uma expansão do tubo: δ T  
  • A reação das paredes vai comprimir o tubo, reduzindo: δ F .

Como as paredes não podem se mover, o resultado final da expansão e compressão do tubo tem que ser zero!

δ T - δ F = 0

Temos fórmulas pra esses termos!

A expansão térmica aqui ocorre de maneira contínua. Veja que Δ T depende de x (posição)! Então é preciso integrar para acharmos a expansão:

δ T = ∫ L α   Δ T ( x )   d x  

Para a compressão, temos a relação carga-deslocamento. Vamos usar logo a fórmula da tensão para trabalharmos com o que queremos:

δ F = F   L A   E         e         σ = F A → δ F = σ L E

Passo 3

Substitua Δ T = 20 + 30 x   ° C na fórmula da expansão térmica e integre:

δ T = ∫ 0 2,4 12 ⋅ 10 - 6   ° C - 1 ⋅ 20 + 30 x   ° C   d x

δ T = 12 ⋅ 10 - 6 ⋅ 20   ⋅ 2,4 - 0 + 30 ⋅ 2,4 2 2 - 0 m

δ T = 1,6128   mm

Passo 4

Agora vamos usar a relação carga-deslocamento. Lembrando que queremos descobrir σ .

δ F = σ L E

δ F = 0,012 ⋅ 10 - 6   mm /Pa ⋅ σ

Passo 5

Voltando à condição de compatibilidade, só falta resolver umas continhas pra achar σ :

δ T - δ F = 0 → 1,6128   mm - 0,012 ⋅ 10 - 6   mm /Pa ⋅ σ = 0

σ = 134,40   MPa

Resposta

Tensão no tubo: σ = 134,40   MPa .

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