Enunciado

O tubo em ângulo reto  O A B   d o   P r o b .   2 / 111 é novamente mostrado aqui. Substitua a força trativa de 750   N que o cabo exerce no ponto  B  por um sistema força-binário no ponto  O .

Passo 1

Vamos transportar a força T → feita no ponto B para o ponto O , e também o momento M 0 → feito pela força em torno dele. Primeiro calculamos o vetor de T → , e depois o momento por uma abordagem vetorial, utilizando a fórmula:

M 0 → = r O B → × T →

Sendo r O B → o veotr que aponta de O para B .

Passo 2

Olha só, primeiro vamos calcular o vetor da força. Fazemos isso multiplicando o módulo T = 750 N pelo vetor unitário   n B C ^ que aponta de B para C , o vetor unitário é calculado da seguinte maneira:

n B C ^ = r B C → r B C →

Calculamos o vetor olhando para as distâncias entre B e C em cada direção:

r B C → = - 1,6   i ^ + 0,8 ⋅ s e n 30 ° + 0,7   j ^ + 1,2 - 0,8 ⋅ cos ⁡ 30 ° k ^

→     r B C → = - 1,6   i ^ + 1,1   j ^ + 0,507   k ^

Agora, calculando o módulo, vamos ter

r b c → = 1,6 2 + 1,1 2 + 0,507 2 ≈ 2,01

Com isso encontramos o vetor unitário n ^ B C e a expressão do vetor T →

n B C ^ = r B C → r B C → = - 1,6   i ^ + 1,1   j ^ + 0,507   k ^ 2,01 = - 0 , 797   i ^ + 0 , 548   j ^ + 0 , 2 5 2   k ^

E nosso vetor T → será

T → = T ⋅ n b c → = 750 ⋅ - 0,797   i ^ + 0,548   j ^ + 0,252   k ^

T → = - 598   i ^ + 411   j ^ + 189   k ^   N

Passo 3

Agora, calcularemos o momento em torno de O . Primeiro precisamos do vetor r → O B :

r → O B = 1,6   i ^ - 0,8 ⋅ s e n 30 °   j ^ + 0,8 ⋅ cos ⁡ 30 °   k ^

r O B → = 1,6   i ^ - 0,4   j ^ + 0,6 9 3   k ^  

Então fazendo o produto vetorial teremos

M 0 → = r O B → × T → = 1,6   i ^ - 0,4   j ^ + 0,693   k ^ × - 598   i ^ + 411   j ^ + 189   k ^  

O produto vetorial é feito com o seguinte determinante

M 0 → = i ^ j ^ k ^ 1,6 - 0,4 0,693 - 598 411 189

O determinante é resolvido da seguinte forma

Os valores que estão representados em azul mantem o sinal, e os em vermelho devem ser multiplicados por - 1 . Sendo assim, vamos ter

M 0 → = - 0.4 ⋅ 189   i ^ + 0,693 ⋅ - 598 j ^ + 1,6 ⋅ 411   k ^ - - 0.4 ⋅ ( - 598   k ^ - 0,693 ⋅ 411   i ^ - 1.6 ⋅ 189   j ^

M 0 → = - 75,6   i ^ - 414 j ^ + 657 k ^ - 238   k ^ - 285   i ^ - 304   j ^

M 0 → = - 361   i ^ - 718   j ^ + 419   k ^

Pronto, tá resolvido nosso problema.

Resposta

T → = - 598   i ^ + 411   j ^ + 189   k ^   N

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