Enunciado

O braço  A B  gira na faixa 0   ≤   θ   ≤   180 ° e a mola não está esticada quando  θ   =   90 ° . Determine, em função de  θ , o momento em torno de  O  causado pela força aplicada pela mola em  B . Faça um gráfico das três componentes escalares de  M O  e calcule o valor máximo absoluto de cada componente.

Passo 1

Devamos obter o momento em torno de O causado pela força elástica aplicada no ponto B e para isso precisamos do vetor posição de B e do vetor que representa a força elástica em B . Para achar a força elástica precisamos do seu módulo e do vetor unitário n B C que indica sua direção.

Passo 2

Primeiro vamos encontrar o vetor posição de B . Ele tem uma coordenada z fixa em z = 0,72 m , e percorre um círculo de raio 0,36 m m com centro no ponto A que é projeção de O no plano z = 0,72 . Podemos então escrever o vetor posição de B dessa maneira

r b = 0,36 ⋅ cos ⁡ θ   i ^ + 0,36 ⋅ s e n θ   j ^ + 0,72   k ^

Passo 3

Agora podemos achar o vetor n b c e seu vetor unitário n b c

r b c = r c - r b = 0,36 j ^ - 0,36 ⋅ cos ⁡ θ   i ^ + 0,36 ⋅ s e n θ   j ^ + 0,72   k ^  

r b c = - 0,36 ⋅ cos ⁡ θ i ^ + 0,36 ⋅ 1 - s e n θ - 0,72 k ^

Sendo assim, seu módulo fica sendo

r b c = - 0,36 ⋅ cos ⁡ θ 2 + 0,36 ⋅ 1 - s e n θ 2 + - 0,72 2

Trabalhando com o que temos dentro da raíz vamos encontrar

r b c = 0,36 ⋅ 6 - 2 s e n θ

Assim, nosso vetor unitário passa a ser

n b c = r b c r b c = - cos ⁡ θ i ^ + 1 - s e n θ - 2 k ^ 6 - 2 s e n θ

Passo 4

Agora que já temos o vetor unitário que representa a direção e sentido da força, precisamos achar o módulo. O módulo da força elástica com uma deformação ∆ l é F = k ∆ l . O comprimento normal da mola é em θ = 90 ° quando a mola está vertical, e é igual a 0,72 m . O comprimento da mola em função de θ é dado por

r b c = r b c = 0,36 ⋅ 6 - 2 ⋅ s e n θ

Então a deformação é

∆ l = 0,36 ⋅ 6 - 2 ⋅ s e n θ - 0,72 = 0,36 ⋅ 6 - 2 ⋅ s e n θ - 2

E então o módulo da força elástica será

T = 2600 ⋅ 0,36 ⋅ 6 - 2 ⋅ s e n θ - 2 = 9 36 ⋅ 6 - 2 ⋅ s e n θ - 2

Passo 5

Agora já temos o vetor força

T = T ⋅ n b c = 936 ⋅ 6 - 2 ⋅ s e n θ - 2 ⋅ - cos ⁡ θ i ^ + 1 - s e n θ - 2 k ^ 6 - 2 s e n θ

E conseguimos calcular o momento causado em O

M O = r b × T =

M o = 936 ⋅ 6 - 2 ⋅ s e n θ - 2 ⋅ 0,36 ⋅ cos ⁡ θ   i ^ + 0,36 ⋅ s e n θ   j ^ + 0,72   k ^ × - cos ⁡ θ i ^ + 1 - s e n θ - 2 k ^ 6 - 2 s e n θ

Resolvendo o produto vetorial ficamos com

M o = 336,96 ⋅ 6 - 2 ⋅ s e n θ - 2 6 - 2 s e n θ ⋅ - 2 i ^ + cos ⁡ θ k ^

Passo 6

Agora, mostramos os gráficos das componentes x e z de M 0

M x = 673 , 9 2 ⋅ 6 - 2 ⋅ s e n θ - 2 6 - 2 s e n θ

M Y = 0

M z = 33 6,9 6 ⋅ 6 - 2 ⋅ s e n θ - 2 6 - 2 s e n θ ⋅ cos ⁡ θ

Podemos perceber que os máximos dos módulos das componentes x e z ocorrem em 0 ° e 180 ° , onde M x = - 123,7   N ⋅ m e M y = 61,8   N ⋅ m .

Resposta

M x = 673,92 ⋅ 6 - 2 ⋅ s e n θ - 2 6 - 2 s e n θ

M Y = 0

M z = 336,96 ⋅ 6 - 2 ⋅ s e n θ - 2 6 - 2 s e n θ ⋅ cos ⁡ θ

em 0 ° e 180 ° , onde M x = - 123,7   N ⋅ m e M y = 61,8   N ⋅ m .

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