Enunciado

A alavanca de controle  O A  gira na faixa 0   ≤   θ   ≤   90 ° . Uma mola de torção interna exerce um momento de retorno na alavanca em torno do ponto  O , dado por M = K ( θ + π / 4 ) , em que  K   =   500   N   ·   m m / r a d   e   θ  está em radianos. Determine e mostre em um gráfico, em função de  θ , a força trativa  T  necessária para tornar nulo o momento resultante em torno de  O . Use dois valores para  d   ( d   =   60   m m   e   d   =   160   m m ) e comente sobre os méritos relativos do projeto. Os efeitos do raio da polia em  B  são desprezíveis.

Passo 1

Queremos calcular o momento que a força T causa no ponto O para igualar a M . Para isso, precisamos primeiro achar a expressão das coordenadas do ponto A em função de θ e depois calcular

M + r a × T = 0

Passo 2

Seja o eixo x orientado para direita e o eixo y para cima, nós teremos que A se move num círculo de raio r = 0,04 m em torno da origem, começando em - r , 0 para θ + π 4 = 0 e terminando em r , 0 para θ + π 4 = π . Temos então a equação polar das coordenadas de A :

x a = - 0,04 ⋅ cos ⁡ θ + π 4

y a = 0,04 ⋅ s en ⁡ θ + π 4

Passo 3

Bom, agora que temos o vetor r a , podemos obter o vetor r a b , e através dele achar o vetor unitário n a b que define a direção de T . Vamos chamar θ + π 4 de α para facilitar nossa manipulação. Assim, temos

r a = - 0,04 ⋅ cos ⁡ α i ^ + 0,04 ⋅ sin ⁡ α   j ^

r b = d i ^ + 0,04 j ^

r a b = r b - r a = d i ^ + 0,04 j ^ + 0,04 ⋅ cos ⁡ α i ^ - 0,04 ⋅ sin ⁡ α   j ^

r a b = d + 0,04 ⋅ cos ⁡ α i ^ + 0,04 ⋅ 1 - s e n α j ^

O módulo de r A b é então

r a b = d + 0,04 ⋅ cos ⁡ α 2 + 0,04 ⋅ 1 - s e n α 2

Manipulando o que temos dentro da raíz vamos chegar em

r a b = d 2 + 0,0032 + 0,08 ⋅ d ⋅ cos ⁡ α - 0,0032 ⋅ s e n α

Sendo assim, nosso vetor unitário será

n A b = d + 0,04 ⋅ cos ⁡ α i ^ + 0,04 ⋅ 1 - s e n α j ^ d 2 + 0,0032 + 0,08 ⋅ d ⋅ cos ⁡ α - 0,0032 ⋅ s e n α

Passo 4

Pronto, agora conseguimos escrever nosso vetor T que será dado por

T = T n a b = T ⋅ d + 0,04 ⋅ cos ⁡ α i ^ + 0,04 ⋅ 1 - s e n α j ^ d 2 + 0,0032 + 0,08 ⋅ d ⋅ cos ⁡ α - 0,0032 ⋅ s e n α

E calculamos o nosso momento causado pela força

r a × T = - 0,04 ⋅ cos ⁡ α i ^ + 0,04 ⋅ sin ⁡ α   j ^ × T ⋅ d + 0,04 ⋅ cos ⁡ α i ^ + 0,04 ⋅ 1 - s e n α j ^ d 2 + 0,0032 + 0,08 ⋅ d ⋅ cos ⁡ α - 0,0032 ⋅ s e n α

Resolvendo o produto vetorial, achamos o momento causado pela tração

r a × T = - 0,04 ⋅ 0,04 ⋅ cos ⁡ α + d ⋅ sin ⁡ α ⋅ T d 2 + 0,0032 + 0,08 ⋅ d ⋅ cos ⁡ α - 0,0032 ⋅ s e n α   k ^

Passo 5

Já vimos que o que queremos é que o momento causado pela tração seja cancelado pelo momento de retorno da alavanca. Então

M = 0,5 α = 0,04 ⋅ 0,04 ⋅ cos ⁡ α + d ⋅ sin ⁡ α ⋅ T d 2 + 0,0032 + 0,08 ⋅ d ⋅ cos ⁡ α - 0,0032 ⋅ s e n α

O valor está positivo pois agora comparamos só os módulos. Isso nos leva ao valor de T

T = 12,5 α d 2 + 0,0032 + 0,08 ⋅ d ⋅ cos ⁡ α - 0,0032 ⋅ s e n α 0,04 ⋅ cos ⁡ α + d ⋅ sin ⁡ α

Retornando ao valor original de α teremos

T = 12,5 θ + π 4 d 2 + 0,0032 + 0,08 ⋅ d ⋅ cos ⁡ θ + π 4 - 0,0032 ⋅ s e n θ + π 4 0,04 ⋅ cos ⁡ θ + π 4 + d ⋅ sin ⁡ θ + π 4

Graficamente nós temos para d = 60   m m e θ em radianos:

Agora o gráfico para d = 160   m m :

Pronto, tá resolvido nosso problema.

Resposta

T = 12,5 θ + π 4 d 2 + 0,0032 + 0,08 ⋅ d ⋅ cos ⁡ θ + π 4 - 0,0032 ⋅ s e n θ + π 4 0,04 ⋅ cos ⁡ θ + π 4 + d ⋅ sin ⁡ θ + π 4

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