Enunciado

Um tubo de vapor com 1,8   m de comprimento é feito de aço com σ e = 280   MPa e está ligado diretamente a duas turbinas A e B , como mostra a figura. O diâmetro externo do tubo é 100   mm e a espessura da parede é 6   mm . A ligação foi feita a T 1 = 20   ° C . Considerando que a rigidez dos pontos de acoplamento das turbinas é k = 16   MN/mm , determine a força que o tubo exerce sobre elas quando o vapor e, portanto, o tubo, atingem uma temperatura de T 2 = 135   ° C .

Passo 1

Fala, querido!

Um tubo mantido entre duas turbinas é aquecido. Os acoplamentos nas turbinas são elásticos, com rigidez k = 16   MN/mm .

Ele quer a força nesses acoplamentos. Vamos pensar que eles são como molas. A ideia é que nosso tubo vai esticar por causa do aumento de temperatura, causando uma deformação nessas molas. Essa deformação gera então uma força nessas molas. Precisamos descobrir o valor delas.

Características do tubo:

  • Aço: E = 200   GPa , α = 12 10 - 6   ° C - 1 . (tabelado)
  • Diâmetro externo: d e = 100   mm . Espessura: 6   mm .
  • Comprimento inicial: L = 1,8   m .
  • Temperatura inicial: T 1 = 20   ° C . Temperatura final: T 2 = 135   ° C .

A variação de temperatura no tubo, Δ T = T 2 - T 1 = 115   ° C , irá causar uma expansão térmica. As turbinas vão resistir esse avanço, comprimindo o tubo com uma força F .

Queremos descobrir essa força F !

Passo 2

Dois efeitos ocorrem no tubo:

  • O aumento de temperatura vai causar uma expansão do tubo: δ T .
  • A reação dos acoplamentos vai comprimir o tubo, reduzindo: δ F .

Os acoplamentos são elásticos, então a força que comprime o tubo vai seguir a relação linear

F = k   x

O x nessa equação é o quanto cada acoplamento elástico fica comprimido! Você pode imaginar esses acoplamentos exatamente como molas, uma em cada ponta do tubo.

Fique atento que o tal x é o movimento (deflexão) em cada mola!

Quando o tubo se expande, ele aumenta o comprimento nas duas extremidades ao mesmo tempo. Como estamos com as mesmas condições dos dois lados do tubo (isso não acontece sempre, cuidado!), em cada lado o tubo aumenta x .

Juntando tudo isso numa equação de compatibilidade: o tubo aumenta δ T por causa do aumento de temperatura, reduz δ F por causa das reações das turbinas que causam compressão, resultando em um aumento de 2 x (um x para cada extremidade do tubo).

2 x = δ T - δ F

E por causa de F = k   x , temos como relacionar x com a força F que a questão pede!

Passo 3

Show! Temos fórmulas pra esses deslocamentos!

Expansão térmica:

δ T = α   Δ T   L

Relação carga-deslocamento:

δ F = F   L A   E

Vamos substituir tudo que sabemos pra dar uma facilitada na equação:

2 x = δ T - δ F → 2 x = α   Δ T   L - F   L A   E

F = k   x → 2 F k = α   Δ T   L - F   L A   E

Repara que F é a força gerada nos acomplamentos. E essa mesma força é a que tende a comprimir nosso tubo. Porque as molas nesses acomplamentos tendem a esticar, causando essa essa força no tubo.

Isole F :

F = α   Δ T   L 2 k + L A   E

Passo 4

Precisamos da área do tubo. Ele é um cilindro vazado. O diâmetro externo é d e = 100   mm . O diâmetro interno vai ser o externo menos duas vezes a espessura e = 8   mm ! Então d i = 88   mm .

Área do tubo:   A = π d e - d i 2 / 4 = 1771,858   mm 2

F = 12 ⋅ 10 - 6 ⋅ 115   ⋅ 1,8   2 16 10 9 + 1,8   1771,858 10 - 6   ⋅   200 10 9  

F = 2484 ⋅ 10 - 6     0,125 ⋅ 10 - 9   + 5,0794 ⋅ 10 - 9

F = 477,29   kN  

O que a questão pediu acaba aqui! Porém, é bom conferir mais uma coisa.

Passo 5

A questão nos deu o valor da tensão de escoamento: σ e = 280   MPa . Tudo isso que fizemos foi assumindo que a expansão térmica ocorre no regime elástico do material! Vamos ver se essa hipótese é verdade.

Tensão axial provocada pela compressão no tubo:

σ = F A = 477,29   kN 1771,858   mm 2 = 279   MPa

Show, σ < σ e . Então está tudo certo! Estamos no regime elástico e nosso resulto é válido.

Resposta

Força no tubo: F = 477,29   kN   .

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