Enunciado

A unidade em série A do nivelador de estradas possui uma massa de 3000   k g e é livremente articulada à unidade motriz B em O , que também é o centro de massa de A . A massa da unidade B isolada é de 10   t , incluindo as rodas C , com centro de massa em G . Encontre a distância mínima s na qual o nivelador é capaz de parar quando se desloca em uma estrada nivelada a 40   k m / h (lâmina retraída e motor desengatado) de modo que o par de rodas traseiras da unidade em série A não se levante do solo. Os freios estão somente nas rodas em série. Considere cada uma das duas unidades como um corpo rígido.

Passo 1

Nós estamos lidando com dois corpos rígidos separados aqui. O nivelador A está encaixado na “unidade motriz” B , que é toda a parte de cima do veículo.

Se o sistema inteiro se move com aceleração a , então existe uma força resultante F i = m i a agindo em cada parte. Além disso, temos as forças normais, os pesos, e a força de contato no ponto O .

Vamos então começar analisando apenas o nivelador no caso limite em que as rodas em A estão prestes a perder o contato com o solo, nesse caso não temos forças de contato com o chão:

Então a soma dos momentos em relação ao ponto A é:

∑ M A = R y + P 0,750 - 1,2 2 ( R x )

E isso deve ser igual ao momento da força resultante agindo no centro de massa:

M = m a 1,2 2 = ( 3000 ) ( a ) ( 0,6 )

E então ficamos com a seguinte equação:

3000 a 0,6 = R y + P 0,750 - 1,2 2 ( R x )

1,8.10 3 a = 0,750 R y + 29430 - 0,6   R x

Passo 2

Agora vamos fazer a mesma coisa para a parte de cima do veículo, e dessa vez vamos tomar como referência o contato da roda com o solo no ponto C .

Nesse caso, as únicas forças que vão sobrar gerando momento serão:

O peso que age no ponto G , a uma distância d 1 = 4,500 + 0,750 - 2,000 = 3,2500   m de C :

M 1 = P d 1 = 10.10 3 9,81 3,25 = 318   825   N m

A força R y que age no ponto O na vertical para cima, a uma distância d 2 = 4,500 + 0,750 = 5,25   m , e favorece a rotação no sentido oposto ao peso:

M 2 = - R y d 2 = - 5,25   R y

A força R x , apontando na horizontal para a esquerda, a uma distância d 3 = 1,200 2 = 0,600   m :

M 3 = 0,6   R x

E a soma desses momentos deve ser igual ao momento da força resultante horizontal agindo no centro de massa:

∑ M C = m a d = 10.10 3 a 1,34 = 1,34.10 4   a

Então ficamos com a seguinte equação:

∑ M C = M 1 + M 2 + M 3

1,34.10 4   a = 318   825 - 5,25   R y + 0,6 R x

Passo 3

Então temos o seguinte sistema:

1,34.10 4 a = 318   825 - 5,25   R y + 0,6 R x 1,8.10 3 a = 0,750 R y + 29430 - 0,6   R x

Temos um sistema de três variáveis, e duas equações, então precisamos encontrar mais uma das variáveis antes de resolvê-lo.

Olhando para a parte de cima do veículo, vamos aplicar a segunda lei de Newton na direção horizontal, que é justamente a direção da aceleração a .

Apenas a força R x aponta nessa direção, no mesmo sentido da aceleração a :

R x = m a

R = 10 4 a

Substituindo isso no sistema:

1,34.10 4 a = 318   825 - 5,25   R y + 0,6 . 10 4 a 1,8.10 3 a = 0,750 R y + 29430 - 0,6   . 10 4 a

7,4.10 3 a = 318   825 - 5,25   R y 7 , 8.10 3 a = 0,750 R y + 22072,5

Podemos resolver para calcular a . Vamos multiplicar a equação de baixo por 7 e somar com a primeira:

62,0.10 3 a = 473,3.10 3

a = 7,63   m / s 2

Passo 4

Então, se o nivelador está se movendo a 40   k m / h , a distância mínima na qual ele é capaz de parar com uma desaceleração de a = 7,63   m / s 2 é:

v 2 = 2 a Δ s

Δ s = 40 3,6 2 ( 2 ) ( 7,63 ) = 8,1   m

Resposta

A distância mínima é Δ s = 8,1   m .

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