Enunciado

(a) Usando funções de singularidade, escreva as equações para a força cortante e o momento fletor para a viga e o carregamento mostrados. (b) Determine o valor máximo do momento fletor na viga.

Passo 1

Beleza! A primeira coisa que vamos fazer é desenhar o diagrama de corpo livre para a viga, dessa forma, o DCL será:

Com o DCL acima, podemos aplicar o somatório de momentos em relação ao ponto B e com isso encontrar a reação no ponto A. Então teremos:

+ ↺ ∑ M B = 0

- R A 4,266 + 43,8 ( 0,914 ) 3,809 + 35,6 ( 2,133 ) + 43,8 0,914 0,457 = 0

4,266 R A = 246,72 → R A = 57,83   k N

Opa! Agora, como temos um carregamento distribuído, devemos lembrar que nesse caso, prolongamos o carregamento dado até o final da viga e colocamos um carregamento de mesma intensidade, mas sentido oposto, na porção onde não tínhamos carregamento no sistema original, e até o final da viga também. Ou seja, o carregamento equivalente ficará assim:

Com essa adição, as forças fornecidas no enunciado e a reação encontrada em A, podemos escrever a equação para a força cortante, lembrando que o carregamento possui ordem 1 na equação da força cortante. Sendo assim, a equação para a força cortante será:

V = 57,83 - 43,8 < x - 0 > 1 + 43,8 < x - 0,914 > 1 - 35,6 < x - 2,133 > 1 - 43,8 < x - 3,352 > 1

V = 57,83 - 43,8 x + 43,8 < x - 0,914 > 1 - 35,6 < x - 2,133 > 0 - 43,8 < x - 3,352 > 1

Passo 2

Agora, para encontrarmos a equação do momento fletor, como já temos a equação para a força cortante, basta lembrar que a derivada do momento equivale a força cortante, ou seja:

d M d x = V

Isolando as variáveis dessa equação, temos:

d M = V d x

Integrando essa expressão dos dois lados, teremos:

∫ d M = ∫ V d x

Agora, substituindo a expressão encontrada para V no passo 1, a equação acima se torna:

M = ∫ 57,83 - 43,8 x + 43,8 < x - 0,914 > 1 - 35,6 < x - 2,133 > 0 - 43,8 < x - 3,352 > 1 d x

Resolvendo a integral, teremos:

M = 57,83 x - 43,8 x 2 2 + 43,8 2 < x - 0,914 > 2 - 35,6 < x - 2,133 > 1 - 43,8 2 < x - 3,352 > 2 + C

Em que C é a constante de integração. Nesse caso, a constante de integração corresponde aos momentos localizados que são aplicados ao sistema, no nosso, como não temos nenhum momento localizado, então teremos:

C = 0

Então a equação do momento será:

M = 57,83 x - 21,9 x 2 + 21,9 < x - 0,914 > 2 - 35,6 < x - 2,133 > 1 - 21,9 < x - 3,352 > 2

Passo 3

Agora para a letra (b), precisamos encontrar o valor do momento máximo. Sabemos que temos um valor máximo ou mínimo para uma função quando sua derivada é zero, ou seja, quando há um ponto de inflexão na curva primária. Então, vamos calcular a força cortante nos 5 pontos da viga, já que ela corresponde a derivada da equação momento, e observar onde há troca de sinal da função. Começando pelo ponto A em x = 0 , temos:

V = 57,83 - 43,8 ( 0 ) + 43,8 < 0 - 0,914 > 1 - 35,6 < 0 - 2,133 > 0 - 43,8 < 0 - 3,352 > 1

V = 57,83   k N

Agora para o ponto B em x = 0,914   m , teremos:

V = 57,83 - 43,8 ( 0 , 914 ) + 43,8 < 0,914 - 0,914 > 1 - 35,6 < 0 , 914 - 2,133 > 0 - 43,8 < 0 , 914 - 3,352 > 1

V = 57,83 - 40,03 + 43,8 0 - 35,6 0 - 43,8 0 → V = 17,8   k N

Agora para o ponto D em x = 2,133   m temos que calcular o valor se aproximando pela esquerda e depois pela direita, parecido com o que fazemos com os limites lá em cálculo. Precisamos fazer isso devido a força localizada de 35,6 kN. Então começando a análise se aproximando por D pela esquerda, temos:

V = 57,83 - 43,8 2,133 + 43,8 < 2,133 - - 0,914 > 1 - 35,6 < 2,133 - - 2,133 > 0 - 43,8 < 2,133 - - 3,352 > 1

V = 57,83 - 93,42 + 43,8 1,219 - 35,6 0 - 43,8 0 → V = 17,8   k N

Observe que nesse caso, a força de 35,6 kN não contribui para a força cortante da viga. Agora, calculando a força cortante pela direita, ela vai aparecer, vamos ver?

V = 57,83 - 43,8 ( 2,133 ) + 43,8 < 2,133 + - 0,914 > 1 - 35,6 < 2,133 + - 2,133 > 0 - 43,8 < 2,133 + - 3,352 > 1

V = 57,83 - 93,42 + 43,8 1,219 - 35,6 1 - 43,8 0 → V = - 17,8   k N

Opa! Observe que houve mudança de sinal no valor da força cortante, então o ponto D é um candidato de momento máximo. Vamos calcular para o ponto E e B para ver se há mais alguma mudança de sinal. Então para E em x = 3,352   m temos:

V = 57,83 - 43,8 ( 3,352 ) + 43,8 < 3,352 - 0,914 > 1 - 35,6 < 3,352 - 2,133 > 0 - 43,8 < 3,352 - 3,352 > 1

V = 57,83 - 146,82 + 43,8 2,438 - 35,6 1 , 219 - 43,8 0 → V = - 25,6   k N

E, agora para o ponto B em x = 4,266   m teremos:

V = 57,83 - 43,8 ( 4,266 ) + 43,8 < 4,266 - 0,914 > 1 - 35,6 < 4,266 - 2,133 > 0 - 43,8 < 4,266 - 3,352 > 1

V = 57,83 - 186,85 + 43,8 3,352 - 35,6 2,133 - 43,8 0,914 → V = - 98,17   k N

Passo 4

Legal! Como vimos que o sinal da força cortante mudou só uma vez, e no ponto D em x = 2,133   m , nosso momento máximo estará nesse local. Dessa forma, usando a equação do momento lá do passo 2 e calculando em x = 2,133   m teremos:

M m a x = 57,83 ( 2,133 ) - 21,9 2,133 2 + 21,9 < 2,133 - 0,914 > 2 - 35,6 < 2,133 - 2,133 > 1 - 21,9 < 2,133 - 3,352 > 2

M m a x = 123,35 - 99,64 + 21,9 1,219 2 - 35,6 0 - 21,9 ( 0 )

M m a x = 56,25   k N . m

Resposta

a :   V = 57,83 - 43,8 x + 43,8 < x - 0,914 > 1 - 35,6 < x - 2,133 > 0 - 43,8 < x - 3,352 > 1

a : M = 57,83 x - 21,9 x 2 + 21,9 < x - 0,914 > 2 - 35,6 < x - 2,133 > 1 - 21,9 < x - 3,352 > 2

b :   M m a x = 56,25   k N . m

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Para a viga e o carregamento mostrados na figura, projete a seção transversal da viga sabendo que o tipo da madeira utilizada tem uma tensão normal admissível de 12M P a .
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Usando o método da Seção 5.2 , resolva o Problema 5.20 .Para a viga e o carregamento mostrados, determine a tensão normal máxima provocada pelo momento fletor na seção transversal C .