Enunciado

Usando a equação (4.66), determine a expressão para R dada na Fig. 4.61 para uma seção transversal triangular.

Passo 1

Tá legal! A primeira coisa que devemos fazer nesse exercício é esboçar a região de interesse e o elemento infinitesimal que iremos utilizar para integrar na equação 4.66, sendo assim, teremos:

Beleza! Da figura acima, conseguimos escrever a largura da seção hachurada em função de duas constantes que vamos chamar de c 0 e c 1 e da distância r do centroide.

w = c 0 + c 1 r

Agora, para descobrir o valor das constantes c 0 e c 1 , vamos utilizar as condições de contorno com relação a geometria do triângulo em si, de onde teremos:

r = r 1 → w = b

r = r 2 → w = 0

Então, substituindo essas expressões na equação para w , teremos o seguinte sistema:

b = c 0 + c 1 r 1

0 = c 0 + c 1 r 2

Isolando c 0 da segunda equação, temos:

c 0 = - c 1 r 2

Substituindo essa relação na primeira equação, chegamos em:

b = - c 1 r 2 + c 1 r 1 → b = c 1 r 1 - r 2 → c 1 = b r 1 - r 2

No entanto, da análise da figura, podemos ver que r 1 - r 2 = - h . Então a equação para c 1 se torna:

c 1 = - b h

Passo 2

Agora vamos substituir a expressão encontrada para c 1 lá na equação para c 0 , então teremos:

c 0 = - c 1 r 2 = - - b h r 2 → c 0 = b r 2 h

E a nossa expressão para w se torna:

w = c 0 + c 1 r → w = b r 2 h - b h r

Agora vamos escrever a expressão para a área do triângulo, que é:

A = b h 2

E, na forma infinitesimal, temos:

d A = w d r

Substituindo a expressão encontrada para w , d A se torna:

d A = b r 2 h - b h r d r

Agora, nós sabemos que a equação 4.66 apresentada nesse capítulo tem a seguinte forma:

R = A ∫ d A r

Substituindo as expressões conhecidas, a equação acima se torna:

R = b h 2 ∫ r 1 r 2 b r 2 h - b h r r d r

Separando as integrais, teremos:

R = 1 2 b h ∫ r 1 r 2 b r 2 h r d r + ∫ r 1 r 2 b h d r = 1 2 b h b r 2 h ∫ r 1 r 2 d r r - b h ∫ r 1 r 2 d r

Passo 3

Agora vamos resolver as integrais do denominador, chegando em:

R = 1 2 b h b r 2 h ln ⁡ r r 1 r 2 - b h r r 1 r 2

Substituindo os limites de integração, teremos:

R = 1 2 b h b r 2 h ln ⁡ r 2 - ln ⁡ r 1 - b h r 2 - r 1

R = 1 2 b h b r 2 h ln ⁡ r 2 r 1 - b h r 2 - r 1

Lembrando da figura lá do passo 1 que r 2 - r 1 = h e colocando b em evidência, chegamos em:

R = 1 2 b h b r 2 h ln ⁡ r 2 r 1 - 1 h h → R = 1 2 b h r 2 h ln ⁡ r 2 r 1 - 1

Finalmeeente! Conseguimos encontrar a relação que foi pedida!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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