Enunciado

Usando uma roseta de 45°, foram determinadas as deformações específicas ϵ 1 ,   ϵ 2 e ϵ 3 para um determinado ponto. Usando o círculo de Mohr, mostre que as deformações específicas principais são

ϵ m a x , m i n = 1 2 ϵ 1 + ϵ 3 ± 1 2 ϵ 1 - ϵ 2 2 + ϵ 2 - ϵ 3 2 1 2

(Sugestão: Os triângulos sombreados são congruentes.)

Passo 1

Opaa! Fala pessoal, beleza? Bora pra mais um?! Para resolver esse exercício, vamos escrever a base e a altura do triângulo em função das coordenadas dadas. Fazendo isso, sabemos que o raio do círculo de Mohr poderá ser dado por Pitágoras, então vamos desenvolver essa expressão para encontrar o raio do círculo de Mohr em função das nossas variáveis. Depois vamos jogar essa expressão na equação que nos dá a deformação máxima e mínima, que é:

ϵ m a x , m i n = ϵ m e d ± R

Então bora lá!

Passo 2

Como vimos no passo 1, vamos precisar da deformação média. No nosso caso, como as direções 1 e 3 estão separadas por 90°, teremos:

ϵ m e d = ϵ 1 + ϵ 3 2

Beleza! Agora nós vamos escrever o comprimento pro lado do triângulo, que está na horizontal, mais próximo ao ponto A da figura dada no enunciado. Podemos fazer isso utilizando a tensão média e a tensão ϵ 1 até a extremidade desse lado, subtraindo uma da outra, temos somente o comprimento do lado, que é o que nos interessa, então teremos:

l 1 = ϵ 1 - ϵ m e d

Substituindo a expressão obtida para ϵ m e d , teremos:

l 1 = ϵ 1 - ϵ 1 + ϵ 3 2 → l 1 = ϵ 1 - ϵ 3 2

Beleza, agora vamos encontrar o comprimento do outro lado do triângulo, o lado menor. Como o enunciado nos disse que os triângulos são congruentes, podemos utilizar o triângulo que está “em pé” dentro do círculo de Mohr, pegar a deformação ϵ 2 que vai até aquele ponto e subtrair a deformação média até o centro do círculo, dessa forma, teremos:

l 2 = ϵ 2 - ϵ m e d

Substituindo a expressão obtida para ϵ m e d , teremos:

l 2 = ϵ 2 - ϵ 1 + ϵ 3 2

Passo 3

Beleza, então a hipotenusa desse triângulo será o raio do círculo de Mohr, de modo que podemos escrever:

R 2 = l 1 2 + l 2 2

Substituindo as expressões encontradas para l 1 e l 2 obtidas no passo 2, teremos:

R 2 = ϵ 1 - ϵ 3 2 2 + ϵ 2 - ϵ 1 + ϵ 3 2 2

Desenvolvendo essa expressão, teremos:

R 2 = 1 4 ϵ 1 2 - 2 ϵ 1 ϵ 3 + ϵ 3 2 + ϵ 2 2 - ϵ 2 ϵ 1 + ϵ 3 + 1 4 ϵ 1 2 + 2 ϵ 1 ϵ 3 + ϵ 3 2

R 2 = ϵ 1 2 4 - ϵ 1 ϵ 3 2 + ϵ 3 2 4 + ϵ 2 2 - ϵ 1 ϵ 2 - ϵ 2 ϵ 3 + 1 4 ϵ 1 2 + ϵ 1 ϵ 3 2 + ϵ 3 2 4

R 2 = ϵ 1 2 2 - ϵ 1 ϵ 2 + ϵ 2 2 - ϵ 2 ϵ 3 + ϵ 3 2 2

Podemos reescrever esses 5 termos como 2 produtos notáveis, da seguinte forma:

R 2 = 1 2 ϵ 1 - ϵ 2 2 + 1 2 ϵ 2 - ϵ 3 2

Opa, estamos chegando no formato do enunciado, agora tirando a raiz dos dois lados, temos:

R = 1 2 ϵ 1 - ϵ 2 2 + 1 2 ϵ 2 - ϵ 3 2 1 2

Passo 4

Então, sabendo que a deformação máxima e mínima pode ser dada através de:

ϵ m a x , m i n = ϵ m e d ± R

Substituindo as expressões encontradas para ϵ m e d e R , teremos:

ϵ m a x , m i n = ϵ 1 + ϵ 3 2 ± 1 2 ϵ 1 - ϵ 2 2 + 1 2 ϵ 2 - ϵ 3 2 1 2

Que é exatamente a equação dada no enunciado! Shoow, conseguimos mais um!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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