Enunciado

7. Resolva o Problema 9.2 usando as equações de transformação de tensão desenvolvidas na Seção 9.2.

Passo 1

Olhando a figura do enunciado, tiramos no estado plano de tensão, que:

σ x = 5,0   M P a , tensão normal de tração

σ y = 3,0   M P a , tensão normal de tração

τ x y = 8,0   M P a , as tensões cisalhantes convergem para o primeiro e terceiro quadrante

φ = 40 ° , é o ângulo do plano inclinado com a horizontal

θ = - 50 ° , é o ângulo que queremos achar para usarmos em nossos cálculos, e que é dado pela subtração de ( 40 ° - 90 ° ) . Vale lembrar que nesse caso, os eixos estão rotacionados no sentido horário.

Passo 2

O que temos que fazer agora, é aplicar as equações de transformação de tensão para determinar o valor de σ x ' , σ y ' e τ x ' y '

Sabemos que σ x ' é dado em função das tensões normais σ x e σ y e da tensão cisalhante τ x y , pela seguinte fórmula:

σ x ' = σ x + σ y 2 + σ x - σ y 2 cos ⁡ 2 θ + τ x y sen ⁡ 2 θ

Substituímos os valores numéricos pertinentes a cada variável:

σ x ' =   3,0   M P a + 5,0   M P a 2 + 5,0   M P a - 3,0   M P a 2 cos ⁡ ( - 100 ° ) + ( 8,0 M P a ) sen ⁡ ( - 100 ° )

σ x ' = - 4,05   M P a

E sabemos também, que σ y ' tem a seguinte cara:

σ y ' = σ x + σ y 2 - σ x - σ y 2 cos ⁡ 2 θ ⁡ -   τ x y sen ⁡ 2 θ

Substituímos os valores numéricos de cada variável:

σ y ' =   3,0   M P a + 5,0   M P a 2 - 5,0   M P a - 3,0   M P a 2 cos ⁡ - 100 ° - ( 8,0 M P a ) sen ⁡ ( - 100 ° )

σ y ' = 12,052   M P a

Por fim, vamos usar a fórmula da transformação de tensão para encontrar a tensão cisalhante τ x ' y ' , que tem a seguinte aparência:

τ x ' y ' = - σ x - σ y 2 sen ⁡ 2 θ ⁡ +   τ x y cos ⁡ 2 θ

Substitui-se os valores numéricos adequados e chega-se a:

τ x ' y ' = - σ x - σ y 2 sen ⁡ 2 θ ⁡ +   τ x y cos ⁡ 2 θ

τ x ' y ' = - 5,0   M P a - 3,0   M P a 2 sen ⁡ ( - 100 ° ) ⁡ +   ( 8,0   M P a ) cos ⁡ ( - 100 ° )

τ x ' y ' = - 0,404   M P a

Resposta

σ x ' = - 4,05   M P a

σ y ' = 12,052   M P a

τ x ' y ' = - 0,404   M P a

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