Enunciado

A velocidade de uma partícula de 1,2   k g é dada por v → = 1,5 t 3   i ^ + 2,4 - 3 t 2 j ^ + 5   k ^ , onde v → é expresso em metros por segundo e o tempo t é expresso em segundos. Determine a quantidade de movimento linear G → da partícula, o seu módulo G , e a força resultante R → que age sobre a partícula quando t = 2   s .

Passo 1

Vamos lembrar da fórmula para a quantidade de movimento linear:

G → = m v →

Como queremos calcular esse vetor no instante t = 2   s , vamos substituir esse valor na função da velocidade:

v → ( t ) = 1,5 t 3   i ^ + 2,4 - 3 t 2 j ^ + 5   k ^

v → 2 = 1,5 2 3   i ^ + 2,4 - 3 2 2   j ^ + 5   k ^

v → = 12   i ^ - 9,6   j ^ + 5   k ^

E então o vetor G → é:

G → = 1,2 12   i ^ - 9,6   j ^ + 5   k ^ = 14,4   i ^ - 11,52   j ^ + 6   k ^

Passo 2

E agora para calcular o módulo é só usar a fórmula para o módulo de um vetor:

v → = v x 2 + v y 2 + v z 2

Então:

G = G → = 14,4 2 + 11,52 2 + 6 2

G = 19,4   k g   m / s  

Passo 3

E para calcular a força R → é só lembrar da seguinte relação:

R → = d d t   G →

R → = d d t   m   v → = m     d d t   v →

Então precisamos calcular a derivada da função da velocidade:

d d t v → = d d t 1,5 t 3   i ^ + 2,4 - 3 t 2 j ^ + 5   k ^ = ( 4,5   t 2 )     i ^ - ( 6 t )   j ^

E então:

R → = 1,2 4,5   t 2   i ^ - 6 t j ^ = 5,4   t 2   i ^ - 7,2   t   j ^

E agora é só calcular essa função no instante t = 2   s .

R → = 21,6   i ^ - 14,4   j ^

Resposta

No instante t = 2 , a quantidade de movimento linear é G → = 14,4   i ^ - 11,52   j ^ + 6   k ^ k g   m / s , o módulo dessa quantidade é G = 19,4   k g   m / s e a força resultante é R → = 21,6   i ^ - 14,4   j ^ .

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