Enunciado

Para a viga com o carregamento mostrado, dimensionar a seção transversal da viga, sabendo-se que a para o tipo de madeira usada a σ a d m = 12   M P a e τ a d m = 860   k P a .

Passo 1

Oi, fala aí, galerinha!!! Para resolver esse problema a gente vai seguir o seguinte passo a passo:

  1. Calcular as reações em B e E, por meio das equações da estática.
  2. Calcular a força cortante, o momento fletor e achar o momento fletor máximo.
  3. Calcular o módulo resistente da seção W .
  4. Utilizar o momento fletor máximo o módulo resistente da seção e a máxima tensão admissível σ a d m para achar o comprimento d .

Passo 2

Para facilitar fazer fazer um desenho das forças:

Aplicando a equação de equilíbrio em relação à horizontal vamos ter:

∑ F y = 0

B y - 20 + 8 + 8 - 20 + E y = 0

B y + E y = 24   k N

Não há forças na vertical.

Como o problema é simétrico então as forças devem ser iguais, portanto:

B y = E y = 12   k N

Passo 3

Nós queremos o máximo momento fletor máxima, que ocorre exatamente na metade da barra (por ela possuir um carregamento simétrico) assim, x = 1,5   m . Além disso a força cortante é zero nesse ponto então:

M m á x = 20 × 0,6 + ( 8 × 0,6 )

M m á x = 16,8   k N . m

Passo 4

Com isso a gente pode achar o valor da tensão cisalhante normal máxima da fora:

σ = M . c I

Mas a gente não vai fazer essa conta direto, vamos utilizar uma propriedade chamada de módulo resistente da seção W , que é dada por:

W = I c

Ou seja, o momento de inércia I sobre a maior distância até a linha neutra c . Vamos calcular esse W ?

I = 1 12 b h 3

I = 1 12 b 0,240 3

c = 0,240 2 = 0,120

Assim:

W = 1 12 b 0,240 3 0,120

Reorganizando:

W = ( 9,6 × 10 - 3 ) ( b )

Vamos guardar esse valor porque isso é importante!

Passo 5

Agora vamos substituir na equação da tensão normal:

Perceba que como

W = I / c

Então:

σ = M W

Aí aqui a gente vai fazer o négocio um pouco diferente. Se lembra que eu disse que o W era importante? Então, agora que vamos utiliza-lo porque a equação acima pode ser escrita como:

W = M m á x σ a d m

Agora é só substituir os valores que a gente já achou!

Aqui podemos utilizar o momento fletor em módulo:

( 9,6 × 10 - 3 ) ( b ) = 16,8   × 10 3 12 × 10 6

b = 146   m m

Porém isso não é o bastante =(

A gente tem que ver se o carregamento não faz a estrutura falhar por cisalhalhamento.

Passo 6

Para fazer essa análise a gente vai utilizar a aproximação para seções retangulares:

τ a d m = 3 2 V m á x A  

A gente pode achar o V m á x que ocorrerá entre A e B:

V m á x   = 20   k N

V m á x = 20   k N

Substituindo os valores

τ a d m = 3 2 V m á x A  

825 × 10 3 = 3 2 20 × 10 3 A  

A = 0,03636   m 2

A = 0,240 × b

b = 0,03636 0,240 = 152   m m

Então a dimensão de d deve ser mesmo igual a 146   m m

Resposta

b = 146   m m

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