Enunciado

Para a viga com o carregamento mostrado, domensionar a seção transversal da viga, sabendo-se que a para o tipo de madeira usada a σ a d m = 12   M P a e τ a d m = 825   k P a .

Passo 1

Para resolver esse problema a gente vai seguir o seguinte passo a passo:

  1. Calcular as reações em A e B , por meio das equações da estática.
  2. Calcular a força cortante, o momento fletor e achar o momento fletor máximo.
  3. Calcular o módulo resistente da seção W .
  4. Utilizar o momento fletor máximo o módulo resistente da seção e a máxima tensão admissível σ a d m para achar o comprimento d .

Passo 2

Uma coisa importante dessa questão é saber identificar e calcular a força concentrada, observe:

No nosso caso L = 2,5   m e w 0 = 25 . Observe que a força concentrada relativa ao carregamento triangular irá incidir numa distância de 1/3 do comprimento da barra.

Além disso o valor dessa força concentrada é calculado como a média entre os valores final e inicial ( w e 0 ) vezes o comprimento total. Para o nosso caso fica:

F c o n c e n t r a d a = 25 + 0 2 × 2,5 = 31,25   k N

Aplicando a equação de equilíbrio em relação à horizontal vamos ter:

∑ F x = 0

A x - 31,25 + B x = 0

A x + B x = 31,25   k N

Não há forças na vertical.

Agora vamos aplicar o momento em A:

∑ M A = 0

Lembrando que a força concentrada de 31,25   k N será aplicada a uma distância de 1/3 da base.

- 31,25 × 1 3 × 2,5 + B y × 2,5 = 0

B y = 10,4   k N

Logo vamos ter que:

A y = 20,85   k N

Passo 3

Agora vamos achar a equação da força cortante considerando x = 0 em B:

Para carregamentos triangulares nós temos a fórmula geral:

w x = w 0 L x

w x = 25 2,5 . x = 10 x

Para achar a força cortante basta integrar a equação do carregamento w ( x ) da forma:

V x = - ∫ w x   d x

V x = - ∫ 10 x     d x

V x = - 5 x 2 + C

Agora temos de achar o valor de C , que é igual à B y assim:

V x = 10,4 - 5 x 2

para descobrir o ponto onde M é máximo temos de igualar V a zero:

10,4 - 5 x 2 = 0

x = 1,44

Agora nós achamos a equação do momento fletor integrando a cortante:

M x = ∫ V x   d x

M x = 10,4 x - 5 3 x 3 + C

Como não há carregamento puro C = 0

M m á x = 10,4 × ( 1,44 ) - 25 15 ( 1,44 ) 3

M = 10   k N . m

Passo 4

Com isso a gente pode achar o valor da tensão cisalhante normal máxima da fora:

σ = M . c I

Mas a gente não vai fazer essa conta direto, vamos utilizar uma propriedade chamada de módulo resistente da seção W , que é dada por:

W = I c

Ou seja, o momento de inércia I sobre a maior distância até a linha neutra c . Vamos calcular esse W ?

I = 1 12 b h 3

I = 1 12 0,5 d d 3

c = d 2

Assim:

W = 1 12 0,5 d d 3 d / 2

Reorganizando:

W = ( 0,0833 ) ( d 3 )

Vamos guardar esse valor porque isso é importante!

Passo 5

Agora vamos substituir na equação da tensão normal:

Perceba que como

W = I / c

Então:

σ = M W

Aí aqui a gente vai fazer o négocio um pouco diferente. Se lembra que eu disse que o W era importante? Então, agora que vamos utiliza-lo porque a equação acima pode ser escrita como:

W = M m á x σ a d m

Agora é só substituir os valores que a gente já achou!

( 0,0833 ) ( d 3 ) = 10   × 10 3 12 × 10 6

d = 100   m m

Porém isso não é o bastante =(

A gente tem que ver se o carregamento não faz a estrutura falhar por cisalhalhamento.

Passo 6

Para fazer essa análise a gente vai utilizar a aproximação para seções retangulares:

τ a d m = 3 2 V m á x A  

A gente pode achar o V m á x substituindo x = 2,5 :

V x = 10,4 - 25 5 2,5 2

V m á x = 20,85   k N

Substituindo os valores

τ a d m = 3 2 V m á x A  

825 × 10 3 = 3 2 20,85 × 10 3 A  

A = 0,0379

A = 1 2 d 2

d = 2 × 0,0379 = 275   m m

Pronto! Agora a gente pode ter certeza que a nossa viga não irá falhar nem pela tensão normal nem pela de cisalhamento!

Resposta

d = 275   m m

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Para a viga e o carregamento mostrado, determinar: a) máxima tensão normal numa seção transversal em D; b) a máxima tensão de cisalhamento numa transversal imediatamente à direita de A. Assumir que τ=
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