Enunciado

Para a viga com o carregamento mostrado, domensionar a seção transversal da viga, sabendo-se que a para o tipo de madeira usada a σ a d m = 12   M P a e τ a d m = 825   k P a .

Passo 1

Para resolver esse problema a gente vai seguir o seguinte passo a passo:

  1. Calcular as reações em A e B , por meio das equações da estática.
  2. Calcular a força cortante, o momento fletor e achar o momento fletor máximo.
  3. Calcular o módulo resistente da seção W .
  4. Utilizar o momento fletor máximo o módulo resistente da seção e a máxima tensão admissível σ a d m para achar o comprimento d .

Passo 2

Vamos olhar um esqueminha do que está acontecendo:

Lembrando que a força concentrada é calculada como:

F c o n c e n t r a d a = w 0 × L = 5,5 × 6,5

Aplicando a equação de equilíbrio em relação à vertical vamos ter:

∑ F y = 0

A y - 5,5 × 6,5 + B y = 0

A y + B y = 35,75   k N

Não há forças na horizontal.

Agora vamos aplicar o momento em A:

∑ M A = 0

Aqui vale lembrar também a força concentrada atua na metade da barra x = 6,5 2

5,5 × 6,5 × 6,5 2 - B y × 6,5 = 0

B y = 17,875   k N

Logo vamos ter que:

A y = 17,875   k N

Passo 3

O momento fletor máximo irá ocorrer exatamente no ponto central:

M = 5,5 × 6,5 × 6,5 4

M = 58,09   k N . m

Passo 4

Com isso a gente pode achar o valor da tensão cisalhante normal máxima da fora:

σ = M . c I

Mas a gente não vai fazer essa conta direto, vamos utilizar uma propriedade chamada de módulo resistente da seção W , que é dada por:

W = I c

Ou seja, o momento de inércia I sobre a maior distância até a linha neutra c . Vamos calcular esse W ?

I = 1 12 b h 3

I = 1 12 0,150 d 3

c = d 2

Assim:

W = 1 12 0,150 d 3 d / 2

Reorganizando:

W = ( 0,025 ) ( d 2 )

Vamos guardar esse valor porque isso é importante!

Passo 5

Agora vamos substituir na equação da tensão normal:

Perceba que como

W = I / c

Então:

σ = M W

Aí aqui a gente vai fazer o négocio um pouco diferente. Se lembra que eu disse que o W era importante? Então, agora que vamos utiliza-lo porque a equação acima pode ser escrita como:

W = M m á x σ a d m

Agora é só substituir os valores que a gente já achou!

( 0,025 ) ( d 2 ) = 58,09   × 10 3 12 × 10 6

d = 311   m m

Porém isso não é o bastante =(

A gente tem que ver se o carregamento não faz a estrutura falhar por cisalhalhamento.

Passo 6

Para fazer essa análise a gente vai utilizar a aproximação para seções retangulares:

τ a d m = 3 2 V m á x A  

Substituindo os valores que temos observando que V m á x = 17,875   k N

τ = 3 2 17,875 × 10 3 0,150 × 0,311

τ = 574   k P a

Como a nossa tensão deu menor do que a tensão admissível 825   k P a então a nossa altura d = 311   m m também suporta as tensões cisalhantes.

Resposta

d = 311   m m

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