Enunciado

Sabendo que a haste ABC e o cabo BD são feitos de aço, determine (a) a deflexão em B, (b) a reação em A. Utilize E = 200 GPa.

Passo 1

Opaa! Fala pessoal, beleza? Bora pra mais um?! Para resolver esse exercício, vamos utilizar o princípio da superposição para encontrar cada uma das inclinações e deflexões e depois somar para encontrar uma expressão para a deflexão total em B. Depois disso será possível encontrar a reação em A.

Passo 2

Tá legal! Vamos começar esse exercício encontrando o momento de inércia da nossa viga, como temos uma seção circular, o momento de inércia:

I = π r 4 4 = π 0,02 4 4 → I = 125,66 . 10 - 9   m 4

Vamos aproveitar e calcular o valor do termo EI, que também usaremos lá na frente. Então teremos:

E I = 200.10 9 125,66 . 10 - 9 → E I = 25132   N . m 2

Tá legal, a primeira coisa que vamos escrever é o alongamento causado no cabo de aço BD, devido ao carregamento aplicado na haste. Esse alongamento será dado por:

δ B D = F B D L B D E A

Em que L B D é o comprimento do cabo, F B D é a força aplicada nele, E é o modulo de elasticidade e A é a seção transversal do cabo. Beleza, vamos deixar essa equação guardada por enquanto. Como vamos precisar depois, já vamos calcular a área da seção transversal do cabo de aço, que será dada por:

A = π d 2 4 = π 0,004 2 4 → A = 12,566.10 - 6   m 2

Passo 3

Agora nós vamos separar o carregamento aplicado na viga, pois temos a força localizada que o cabo exerce sobre a viga F B D e o carregamento distribuído. Então, para o primeiro caso, onde teremos somente a força localizada, temos o seguinte DCL:

Agora podemos utilizar o apêndice D para pegar a deflexão no ponto B, nesse caso temos o caso 4 do apêndice D, onde teremos:

y B 1 = F B D L 3 48 E I

Agora para o segundo caso, onde temos um carregamento distribuído ao longo de toda a viga, teremos que a deflexão no ponto B será dada pelo caso 6 do apêndice D, onde teremos:

y B 2 = - 5 w L 4 384 E I

Beleza! Agora sabemos que a deflexão no ponto B causada pelos carregamentos aplicados na viga tem que ser igual a deflexão sofrida pelo cabo de aço, só mudando o sentido da deflexão. Então, somando as duas deflexões obtidas pelos carregamentos e igualando com a deflexão do cabo de aço encontrada, teremos:

y B 1 + y B 2 = - δ B D

Substituindo as expressões encontradas, teremos:

F B D L 3 48 E I + - 5 w L 4 384 E I = - F B D L B D E A

Isolando o termo F B D e substituindo os valores conhecidos, teremos:

F B D L 3 48 E I + L B D E A = 5 w L 4 384 E I

F B D 0,36 3 48 25132 + 0,2 200.10 9 12,566 . 10 - 6 = 5 1,6.10 3 0,36 4 384 25132

F B D = 117,74   N

Então, a deflexão em B pode ser encontrada através do alongamento do cabo de aço, onde temos:

δ B D = F B D L B D E A = 117,74 0,2 200.10 9 12,566.10 - 6 → δ B D = 9,37.10 - 6   m

Beleza! A letra (a) já era, bora pra (b) agora.

Passo 4

Agora, para encontrar a reação no apoio A, basta fazer um equilíbrio de forças para o sistema. No nosso caso, como o carregamento é simétrico, teremos a mesma reação nos pontos A e C, sendo a metade da força total aplicada na viga. Então teremos:

A y = C y = w L - F B D 2

Substituindo os valores conhecidos, teremos:

A y = 1600 0,36 - 117,74 2 → A y = 229,13   N

Shoow! Terminamos mais um, valeeu!

Resposta

a :   δ B D = 9,37.10 - 6   m

b :   A y = 229,13   N

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