Enunciado

A viga de concreto reforçada, como mostrado, é submetida a um momento fletor de 55   k N ⋅ m . Sabendo-se que os módulos de elasticidade são de 25   G P a para o concreto, e de 200   G P a para o aço, determinar: (a) a tensão no aço.

Passo 1

O problema pede a tensão, que é dada pela equação:

σ = M ⋅ c I

Onde:

  • σ é a tensão normal admissível.
  • M é o momento fletor.
  • I o momento de inércia.
  • c a maior distância entre a linha neutra e um ponto da peça.

Porém, além de ter que utilizar essa equação temos uma peça formada por dois materiais diferentes e para isso vamos ter que achar a seção transformada. Posteriormente, vamos poder utilizar a nossa equação do momento fletor tranquilamente.

Mas aqui nós temos de lembrar que o concreto resiste apenas às tensões de compressão! Você verá isso com mais detalhes à frente.

Então vamos lá!

Passo 2

O cálculo da seção transformada é feito da seguinte maneira, sabendo que a viga é encurvada no eixo horizontal.

Observe que existe uma parte em branco! É exatamente onde o concreto está sob tensão, como o concreto não resiste a esse tipo de esforço então consideramos que não há material ali.

Atenção aqui a área da viga é igual a:

A a = 3 ⋅ π ⋅ D 2 4

A a = 3 ⋅ π ⋅ 22 2 4

A a = 1140,4   m m ²

Calculando n

n = E a ç o E c o n c r e t o

n = 200 25 = 8

Essa informação não foi dada no problema mas pode ser retirada da tabela no final do livro.

Sendo assim a área que iremos considerar será:

A = 9123,2   m m ²

Observe que a linha central (com traços e pontos) está representando o eixo por onde a a viga é encurvada.

Pronto! Temos a seção transformada (toda em concreto no caso). Agora vamos calcular o momento de inércia desta seção no passo 3.

Passo 3

O momento de inércia é calculado normalmente, para seções retangulares, da forma:

I = b ⋅ h 3 12

Como a linha neutra da seção transversal passa pelo centroide da seção transformada vamos utilizar a seguinte equação:

1 2 ⋅ b x 2 - n ⋅ A a ⋅ d - x = 0

Onde os valores são representados abaixo:

Esse é o caso geral, substituindo os valores relativos ao nosso problema:

Vamos ter:

1 2 ⋅ 200 ⋅ x 2 - 9123,2 ⋅ 350 - x = 0

Agora é só resolver essa equação e o valor de x é a distância até a linha neutra.

100 x 2 + 9123,2 ⋅ x - 3193120 = 0

Aplicando bhaskara:

x = - 9123,2 ± 9123,2 2 - 4 ⋅ 100 ⋅ ( - 3193120 ) 2 ⋅ 100

x = - 9123,2 ± 1277248000 2 00

x = - 9123,2 ± 35738,6 200

Como o valor deve ser positivo

x = - 9123,2 + 35738,6 200

x = 133   m m

Passo 4

Voltando ao cálculo do momento de inércia:

I = b ⋅ h 3 3

Observe que aqui vamos considerar o corpor rotacionando em volta de um de seus lados, por isso o denominador 3 .

I s u p = b ⋅ h 3 3

I s u p = 200 × 10 - 3 ⋅ ( 133 × 10 - 3 ) 3 3

I s u p = 1,57 × 10 - 4 m 4

Para a parte inferior

I i n f = n ⋅ A ⋅ ( d - x ) ²

I i n f = 9123,2 × 10 - 6 ⋅ ( 217 × 10 - 3 ) ²

I i n f = 4,3 × 10 - 4   m 4

Somando os dois

I = I i n f + I s u p

I = 4,3 × 10 - 4       + 1,57 × 10 - 4

I = 5,87 × 10 - 4   m 4

Passo 5

Agora é só jogar na equação da tensão!

σ = M ⋅ c I

Observe que a distância c é a maior distância entre o eixo e a peça, neste caso são iguais a d - x e x

Para o aço temos que multiplicar pelo fator n

σ a ç o = n ⋅ M ⋅ c 2 I

σ a ç o = 8 ⋅ 55000 ⋅ 0,217 5,87 × 10 - 4

σ a ç o = 162,66   M P a

Resposta

σ a ç o = 162,66   M P a

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