Enunciado

A viga AB, consistindo em uma placa de ferro fundido de espessura uniforme b e comprimento L, deve suportar a força mostrada. (a) Sabendo que a viga deve ser de resistência constante, expresse h em termos de x, L e h 0 . (b) Determine a força máxima admissível se L = 914 mm, h 0 = 305 mm, b = 31,8 mm e σ a d m = 165 MPa.

Passo 1

Beleza! A primeira coisa que vamos fazer é desenhar o diagrama de corpo livre para a viga, dessa forma, o DCL será:

Com o DCL acima, podemos aplicar o somatório de momentos em relação ao ponto B e com isso encontrar a reação no ponto A. Então teremos:

+ ↺ ∑ M B = 0

R A L - w L L 2 = 0

R A L = w L 2 2 → R A = w L 2

Agora nós vamos desenhar o diagrama de corpo livre para uma seção da viga com comprimento x, onde teremos:

Agora, para esse DCL, vamos aplicar o somatório de momento em relação ao ponto C, para encontrar uma expressão para o momento M, então teremos:

+ ↺ ∑ M C = 0

- R A x + w x x 2 + M = 0 → - w L x 2 + w x 2 2 + M = 0

M = w x 2 L - x

Passo 2

Agora, vamos utilizar a equação 5.18 vista nessa seção para escrever o módulo de resistência da viga, que será dado por:

W = M σ a d m

Substituindo a expressão para o momento encontrada no passso 1, teremos:

W = w x 2 L - x σ a d m → W = w x L - x 2 σ a d m

Agora, lembrando que o módulo de resistência W para uma seção transversal retangular é dado por:

W = b h 2 6

Podemos igualar as duas expressões encontradas para W , fazendo isso, teremos:

b h 2 6 = w x L - x 2 σ a d m

Agora, isolando h dessa equação, chegaremos em:

h 2 = 6 w x L - x 2 b σ a d m → h = 3 w x L - x b σ a d m

Passo 3

Ainda estamos na letra (a), vamos lá! Para escrever h em termos de x, L e h 0 , está faltando determinar o h 0 , que ocorre em x = L / 2 , então, vamos substituir esse valor de x na equação que encontramos para h , chegando em:

h 0 = 3 w L 2 L - L 2 b σ a d m = 3 w L 2 L 2 b σ a d m

h 0 = 3 w L 2 4 b σ a d m

Agora precisamos dar um jeito de fazer esse termo aparecer lá na equação de h . Para isso, vamos dividir a equação de h por h 0 dos dois lados, dessa forma, teremos:

h = 3 w x L - x b σ a d m → h h 0 = 3 w x L - x b σ a d m 3 w L 2 4 b σ a d m = 3 w x L - x b σ a d m 3 w L 2 4 b σ a d m

h = h 0 3 w x L - x b σ a d m . 4 b σ a d m 3 w L 2 → h = h 0 4 x L - x L 2 → h = 2 h 0 L x L - x

Tá aí! Essa é a expressão que queríamos pra h .

Passo 4

Agora para resolver a letra (b), vamos utilizar a equação que encontramos para h 0 :

h 0 = 3 w L 2 4 b σ a d m

E vamos isolar o carregamento w , dessa forma, teremos:

h 0 2 = 3 w L 2 4 b σ a d m → w = 4 b h 0 2 σ a d m 3 L 2

Substituindo os valores conhecidos, temos:

w = 4 0,0318 0,305 2 165.10 6 3 0,914 2 → w = 779   k N / m

Resposta

a :   h = 2 h 0 L x L - x

b :   w = 779   k N / m

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