Enunciado

Uma viga de madeira está sendo projetada para ser vinculada e carregada conforme mostra a figura. (a) Usando funções de singularidade, encontre a intensidade e a localização do momento fletor máximo na viga. (b) Sabendo que o estoque disponível consiste em vigas com uma tensão admissível de 12 MPa e seção transversal retangular de 30 mm de largura e altura h variando de 80 mm até 160 mm com incrementos de 10 mm, determine a seção transversal mais econômica que pode ser utilizada.

Passo 1

Beleza! A primeira coisa que vamos fazer é desenhar o diagrama de corpo livre para a viga, dessa forma, o DCL será:

Com o DCL acima, podemos aplicar o somatório de momentos em relação ao ponto C e com isso encontrar a reação no ponto A. Então teremos:

+ ↺ ∑ M C = 0

- R A 4 + 1 2 50 0 2,4 2 3 2,4 + 500 1,6 ( 2,4 + 0,8 ) = 0

4 R A = 3520 → R A = 880   N

Lembrando que, como temos carregamento distribuído, podemos escrever ele primeiro, considerando o ponto A como origem do nosso sistema, teremos:

w = 500 - 500 2,4 < x - 1,6 > 1 → w = 500 - 208,33 < x - 1,6 > 1

Passo 2

Agora podemos encontrar a força cortante sabendo que ela será o oposto da integral da equação do carregamento, ou seja:

V = - ∫ w d x

Substituindo a expressão para w e resolvendo a integral, chegamos em:

V = - ∫ 500 - 208,33 < x - 1,6 > 1 d x

V = - 500 x + 208,33 2 < x - 1,6 > 2 + C

A constante de integração nesse caso corresponde as forças localizadas aplicadas no sistema, no nosso caso, temos somente R A , então nossa constante será:

C = R A → C = 880   N

Então, nossa equação para a força cortante será:

V = - 500 x + 104,17 < x - 1,6 > 2 + 880

Passo 3

Agora, para encontrarmos a equação do momento fletor, como já temos a equação para a força cortante, basta lembrar que a derivada do momento equivale a força cortante, ou seja:

d M d x = V

Isolando as variáveis dessa equação, temos:

d M = V d x

Integrando essa expressão dos dois lados, teremos:

∫ d M = ∫ V d x

Agora, substituindo a expressão encontrada para V no passo 1, a equação acima se torna:

M = ∫ - 500 x + 104,17 < x - 1,6 > 2 + 880 d x

Resolvendo a integral, teremos:

M = - 500 2 x 2 + 104,17 3 < x - 1,6 > 3 + 880 x + C

Em que C é a constante de integração. Nesse caso, a constante de integração corresponde aos momentos localizados que são aplicados ao sistema, no nosso caso não temos nenhum momento localizado, então teremos:

C = 0

Então a equação do momento será:

M = - 250 x 2 + 34,722 < x - 1,6 > 3 + 880 x

Passo 4

Agora para encontrar a tensão normal máxima, precisamos primeiro do momento máximo. Para isso, vamos igualar a derivada da função momento (que é a própria equação da força cortante) a zero, e encontrar a localização do momento máximo. Fazendo isso, teremos:

V = - 500 x + 104,17 < x - 1,6 > 2 + 880 = 0

Nesse caso, como estamos trabalhando com a função de singularidade, precisamos dividir a função nos intervalos para calcular separadamente o valor de máximo para cada intervalo. Então, começando pelo primeiro intervalo, em 0 < x < 1,6 teremos:

- 500 x + 104,17 < x - 1,6 > 2 + 880 = 0

- 500 x + 104,17 0 + 880 = 0 → x = 1,76   m

O valor de x encontrado está fora do intervalo de análise, dessa forma não temos um ponto de máximo nesse intervalo. Vamos agora considerar o intervalo 1,6 < x < 4 , onde teremos:

- 500 x + 104,17 < x - 1,6 > 2 + 880 = 0

- 500 x + 104,17 x 2 - 3,2 x + 2,56 + 880 = 0

- 500 x + 104,17 x 2 - 333,34 x + 266,67 + 880 = 0

104,17 x 2 - 833,34 x + 1146,67 = 0

É isso mesmo que você está pensando! Vamos precisar usar bháskara para encontrar o valor de x , lembrando da sua fórmula:

x = - b ± b 2 - 4 a c 2 a

Substituindo os valores conhecidos, teremos:

x = 833,34 ± - 833,34 2 - 4 104,17 1146,67 2 104,17 = 833,34 ± 465,469 208,34

x 1 = 6,234   m

x 2 = 1,7657   m

Opa! Dentre os dois valores possíveis, somente um deles está dentro do intervalo que estamos analisando. Então essa será a localização do momento máximo. Agora para encontrar seu valor, basta substituir essa posição de x na equação que encontramos para o momento lá no passo 3. Então, fazendo isso, teremos:

M m a x = - 250 1,7657 2 + 34,722 < 1,7657 - 1,6 > 3 + 880 ( 1,7657 )

M m a x = - 779,42 + 0,158 + 1553,816 → M m a x = 774,55   N . m

Passo 5

Beleza! Agora para a letra (b), nós sabemos que a tensão normal máxima provocada pelo momento fletor é dada por:

σ = M c I

O enunciado nos fornece uma viga de perfil quadrado. Para esse perfil, sabemos que o momento de inércia é dado por:

I = b h 3 12

Sabemos também que a distância c será metade da altura da viga, já que a tensão máxima irá ocorrer na extremidade da viga. Dessa forma, substituindo essas informações na equação da tensão, ela se torna:

σ = M h 2 b h 3 12 = M h 2 12 b h 3 → σ = 6 M b h 2

Agora, vamos substituir os valores conhecidos nessa equação e encontrar o valor mínimo de h para a viga:

12.10 6 = 6 774,55 0,03 h 2 → h = 0,113619   m = 113,619   m m

Opa! Ainda não acabamos, o enunciado nos disse que a altura da viga pode variar de 80 até 160 mm, com incrementos de 10 mm. Nesse caso, como precisamos de no mínimo 113,619 mm, devemos escolher uma viga com:

h = 12 0   m m

Esse valor de h garante a tensão admissível dada no enunciado e também atende ao incremento de 10 mm na altura dado no enunciado.

Resposta

a :   x = 1,7657   m

a : M m a x = 774,55   N . m

b : h = 12 0   m m

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Resolva o problema 5,94 considerando que a força P concentrada de 6k N aplicada a cada viga for substituída por forças concentradas P 1 e P 2 de 3k N aplicadas a uma distância de 4m de cada extremidad
( a ) Usando funções de singularidade, escreva as equações definindo a força cortante e o momento fletor para a viga e o carregamento mostrados. ( b ) Use a equação obtida para M para determinar o mom
( a ) Usando funções de singularidade, escreva as equações definindo a força cortante e o momento fletor para a viga e o carregamento mostrados. ( b ) Use a equação obtida para M para determinar o mom
( a ) Usando funções de singularidade, escreva as equações definindo a força cortante e o momento fletor para a viga e o carregamento mostrados. ( b ) Use a equação obtida para M para determinar o mom
( a ) Usando funções de singularidade, escreva as equações definindo a força cortante e o momento fletor para a viga e o carregamento mostrados. ( b ) Use a equação obtida para M para determinar o mom