Enunciado

A viga curva está sujeita a um momento fletor M = 900 N.m como mostra a figura. Determine a tensão nos pontos A e B e mostre a tensão sobre um elemento de volume localizado em cada desses pontos.

Passo 1

Faaaala, meu povo bonito!! Tudo bem com vocês?? A nossa questãozinha nos mostra essa peça de um quarto de circunferência e nos pede para calcular o valor das tensões, tanto de compressão quanto de tração que vamos ter nas extremidades superior e inferior da parte livre. Viu?? Ela só tem cara de malvada, mas vamos resolver rapidinho. Vem comigo!!

Passo 2

Nosso primeiro passo será calcular a posição do nosso centroide, área e o r’.

yCG = ∑ A . y C G ∑ A = 150   x   1 5 7 5 + 1 0 0   x   2 0 160 150   x   15 + ( 100   x   2 0 ) = 115 mm

A = 150 x 15 + 100 x 20 = 4250 m m²

r’ = 400 + 115 = 515 mm

Feito isso, precisamos determinar a localização do centroide, que é medida em ação ao centro de curvatura, seguido pelo cálculo do eixo neutro. Como nossa estrutura pode ser dividida em vários pedacinhos com partes compostas, podemos integrar tudo.

∫ A d A r =   ∑ b l n   r 2 r 1 = 150 ln ⁡ 55 0 40 0 + 10 ln ⁡ 410 260 + 75 ln ⁡ 57 0 55 0 = 8,3486   mm

R = A ∫ A d A r = 4250 8,3486 = 509,067   mm

Passo 3

Pronto, nossos pontos mais difíceis da questão já foram resolvidos. Só falta calcularmos as tensões em cada extremidade do corte.

σa = M ( R - r 0 ) A r 0 ( r ' - R )   =   ( - 90 0 ) ( 0 , 509067 - 0 , 570 ) ( 0,00 425 ) ( 0 , 57 ) ( 0 , 515 - 0,509067 ) = 3,82 MPa

σb = M ( R - r 0 ) A r 0 ( r ' - R )   =   ( - 900 ) ( 0,509067 - 0 , 4 ) ( 0,00425 ) ( 0 , 4 ) ( 0,515 - 0,509067 ) = -9,73 MPa

Resposta

σa = 3,82 MPa - tração

σb = 9,73 Mpa - contração

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