Enunciado

Para uma viga extrudada de seção transversal mostrada, determinar:

  1. A localização do centro de cisalhamento O
  2. A distribuição das tensões de cisalhamento, causadas por uma força vertical V de 2,5   k N aplicada em O .

Passo 1

Para esse tipo de questão sabemos que a nossa tensão de cisalhamento produz na seção forças que são decorrentes do diagrama de tensões. Mas ai temos o seguinte macete, imagine que na verdade a nossa seção tenha o seguinte fluxo de tensões.

Se calcularmos o momento fletor em torno de “E” teremos que:

M E = 2 F 1 h 1 + 2 F 2 C O S θ h 2

Agora pensa o seguinte, se temos esse momento fletor agindo em torno de “E” vamos tentar equilibrar ele, e para equilibrar, precisamos descobrir qual a distância “e” que podemos colocar a nossa carga vertical para garantir que a nossa seção vá descer vertical, e não rotacionar, sendo assim, teremos que:

Calculando o momento fletor em “e” teremos que:

M d = V e

E igualando os momentos fletores, teremos que:

V e = 2 F 1 h 1 + 2 F 2 C O S θ h 2

e = 2 F 1 h 1 + 2 F 2 C O S θ h 2 V

Sabemos que a força que age na seção superior e gera a força F é dada pela seguinte equação:

F = ∫ τ d A

Sabemos que:

τ = V Q I b

Precisamos determinar o momento de inércia total da nossa seção, vamos seguir o seguinte passo a passo.

Passo 2

Vamos determinar primeiro o momento de inércia, para isso precisamos determinar algumas coisas, para isso temos que fazer o seguinte passo a passo.

para determinarmos o momento de inércia, precisamos fazer a seguinte conta:

I = ∑ I i + A i d i 2

  • Primeiro determinamos uma divisão em seções mais simples
  • Em segundo determinamos as áreas da nossa seção
  • A 1 = 6   × 80 = 480   m m 2

    A 2 = 65   × 8 = 520   m m 2

    A 3 = 160 × 8 = 1280   m m 2

  • Em terceiro determinamos a distância dos centroides dos elementos até a LN, e como a seção é simétrica, está no centro da seção total, sendo assim teremos que:
  • Em quarto precisamos determinar os momentos de inércia de cada uma das seções mais simples:
  • Agora para determinarmos o momento de inércia, precisamos fazer a seguinte conta:

    I = ∑ I i + A i d i 2

    Mas temos que lembrar que precisamos usar os valores de inercia da região 6 como negativa, sendo assim temos que:

    I = 2 I 1 + A 1 d 1 2 + 2 I 2 + A 2 d 2 2 + I 3

    2 1440 + 480   .     55 2 + 2 10417 + 520   .     67,5 2 + 2730667

    I = 2 1453440 + 2 2379667 + 2730667 = 10396881   m m 4

    Passo 3

    Para o momento estático, precisamos escrever a nossa equação em função disso, porque sabemos que a nossa força está em função da tensão, sendo assim podemos fazer o seguinte:

  • Área da região acima do ponto que se quer saber o cisalhamento
  • Vamos ter que fazer esse momento estático em dois grupos, vamos primeiro fazer a parte horizontal.

    A = 6 x

    Lembrando que x é a variação do comprimento da área analisada.

  • Distância do centroide da área até a LN
  • agora para determinar o momento estático precisamos fazer a seguinte conta:

    Q = A 1 y 1 = 6 x 55 = 330 x   m m 3

    E sabemos que a espessura de cisalhamento é dado por 6. substituindo isso na nossa equação teremos que:

  • Tensão
  • τ = V Q I b = V   .     330 x     I     .     6

    Sabemos que devemos substituir isso na seguinte integral:

    F 1 = ∫ τ d A

    Sabemos que:

    A = 6 x

    Logo:

    d A = 6 d x

    Sendo assim teremos que:

    F 1 = ∫ V   .     330 x     I     .     6 6 d x

    F 1 = 330   V     I ∫ x d x

    F 1 = 330   V     I x 2 2    

    F 1 = 330 V x 2     2 I

    Como sabemos que x varia de 0 até 80, podemos ignorar o zero e analisar apenas o 40, sendo assim teremos que:

    F 1 = 330 V x 2     2 I

    F 1 = 330 V 80 2     2 I = 1056000 V 10396881 = 0,102   V

    Agora que já temos a força 1, podemos determinar a força 2, sendo assim, teremos que:

  • Área da região acima do ponto que se quer saber o cisalhamento
  • Agora vamos ver a região em diagonal.

    A = 8 S

    Lembrando que S é a variação do comprimento da área analisada.

  • Distância do centroide da área até a LN
  • d S 2 = S e n θ

    d = S 2 S e n θ

    h = 55 + S 2 S e n θ

    agora para determinar o momento estático precisamos fazer a seguinte conta:

    Q = A 1 h = 8 S   .   55 + S 2 S e n θ = 8 S   .   55 + S 2 S e n θ = 440 S + 4 S 2 S e n θ

    E sabemos que a espessura de cisalhamento é dado por 8. Substituindo isso na nossa equação teremos que:

  • Tensão

τ = V Q I b = V   . ( 440 S + 4 S 2 S e n θ )     I     .   8

Sabemos que devemos substituir isso na seguinte integral:

F 2 = ∫ τ d A

Sabemos que:

A = 8 S

Logo:

d A = 8 d s

Sendo assim teremos que:

F 2 = ∫ V   . ( 440 S + 4 S 2 S e n θ )     I     .   8 ( 8 d s )

F 2 = ∫ V   . ( 440 S + 4 S 2 S e n θ )     I ( d s )

F 2 = V I ∫ 440 S + 4 S 2 S e n θ d S

F 2 = V I 440 S 2 2 + 4 S 3 S e n θ 3

E sabemos que S varia entre 0 e L = 65 m m . Com isso teremos que:

F 2 = V I 440   .     65 2 2 + 4   .   65 3 S e n θ 3

Sabemos que:

S e n θ = 25 65

F 2 = V I 440   .     65 2 2 + 4   .   65 3 25 65 3

F 2 = V I 440   .     65 2 2 + 4   .   65 2 . 25 3

F 2 = 6422000 V 6 I = 0,103   V

Mas vale lembrar que a força em 2 tem a contribuição de ação da força em 1, sendo assim, temos que a força em 2 na verdade será dada por:

F 2 f i n a l = F 2 + F 1 = 0,103   V + 0,102 V = 0,205   V

Mas lembra o nosso objetivo? Queremos determinar a excentricidade que podemos aplicar a nossa carga, sendo assim, teremos que:

e = 2   .   0,102 V   .   55 + 2   .     0,205 V   .     60 65 .   80 V

e = 41,5

Resposta

e = 41,5   m m

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