Enunciado

A viga falhará quando o momento fletor máximo for M m á x . Determine a posição x da força concentrada P e sua menor intensidade que causará a falha.

Passo 1

Fala, galera do RespondeAí. Beleza? Bora para mais um exercício de Mecânica. Neste problema, devemos determinar a posição x da força concentrada P e sua menor intensidade que causará a falha, que ocorre quando momento fletor for máximo.

Sabemos que o momento fletor máximo ocorre na posição em que a carga P atua, ou seja:

M m á x x

Portanto, devemos determinar os momentos fletores desta viga. Para isso, vamos começar esboçando o DCL:

Passo 2

Em seguida, vamos utilizar a equação de momento no ponto A para determinarmos a reação no apoio B , temos:

∑ M A = 0 B y L - P x = 0 B y = P L x

E pelas equações de equilíbrio, vamos determinar as demais reações nos apoios. Pelo somatório das forças no eixo x , temos:

∑ F x = 0 A x = 0

E para o eixo y , temos:

∑ F y = 0 A y + B y - P = 0 A y = P - P L x = P L - x L

Passo 3

Então, vamos calcular o momento fletor. Para isso, vamos analisar o que acontece quando fazemos um corte transversal na viga. Primeiro, para a porção 0 < x ' < x da viga. Podemos esboçar esse DCL assim:

Com isso, vamos determinar o momento fletor...

Considerando o momento positivo girando no sentido anti-horário, vamos fazer o somatório dos momentos:

∑ M z = 0 - M 1 x - A y x = 0 M 1 x = - P L - x L x '

Passo 4

Para a segunda porção da viga, ou seja, x < x ' < L , temos:

Então, temos que o momento fletor vai ser:

∑ M z = 0 M x = - P L - x ' L x

Com isso, podemos determinar o momento máximo, sabemos que onde ele ocorre pois definimos no Passo 1. ( em x = x ' ) . Logo:

M m á x = M 1 x = M 2 x - P L - x L x ' = - P L - x x L = P L L x - x 2 = 0

Podemos derivar esta equação, temos:

d d x P L L x - x 2 = 0 x = L 2

Agora que encontramos a posição em que o momento máximo ocorre, basta substituirmos em uma das equações de momento fletor a fim de determinarmos a carga P . Fica assim:

M m a x = P L - x ' L = P L L 2 L - L 2 P = 4 M m a x L  

Opa, é isso, galera. Bora praticar mais!!!

Resposta

P = 4 M m a x L

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