Enunciado

Uma pequena roda-gigante é construída com duas treliças idênticas, uma das quais é mostrada. O membro AO é temporariamente removido para substituição. Se o peso das cadeiras e membros estruturais resultar em uma carga de 100 lb em cada junta da treliça mostrada, determine a força em cada membro da estrutura. Com o membro AO substituído, você poderia repetir a análise?

Passo 1

Primeiro, se olharmos para a imagem, podemos ver que há 8 triângulos na roda e disso sabemos que o ângulo entre as linhas AO e BO (e todas as outras) é 45∘. Visto que seus lados têm o mesmo comprimento, sabemos que os outros ângulos no triângulo devem ser 67.5 ∘ ( ( 180 - 45 ) / 2 ) . Olhando para o ponto A, vemos que apenas as forças horizontais são componentes horizontais de AH e AB, portanto, devem ser iguais. Além disso, vemos que os componentes verticais dessas duas forças devem cancelar a força externa.

A B c o s ⁡ 67.5 ∘ + A H c o s ⁡ 67.5 ∘ = 100 l b A B c o s ⁡ 67.5 ∘ + A B c o s ⁡ 67.5 ∘ = 100 l b

A B = 130.7 l b

A H = A B = 130.7 l b

Passo 2

Agora olhamos para o ponto H e vemos que o ângulo entre OH e horizontal é 45 ∘ e daí também vemos que o ângulo entre AH e horizontal é 22,5∘. Além disso, o ângulo entre GH e vertical é 22,5∘. A partir de tudo isso, dividimos nossas forças nos componentes verticais e horizontais.

100 l b + A H s i n ⁡ 22.5 ∘ + H O c o s ⁡ 45 ∘ = G H c o s ⁡ 22.5 ∘ (vertical)

H O s i n ⁡ 45 ∘ + G H s i n ⁡ 22.5 ∘ = A H c o s ⁡ 22.5 ∘ (horizontal)

Subtraindo, temos

100 l b + A H s i n ⁡ 22.5 ∘ - G H s i n ⁡ 22.5 ∘ = G H c o s ⁡ 22.5 ∘ - A H c o s ⁡ 22.5 ∘

G H s i n ⁡ 22.5 ∘ + c o s ⁡ 22.5 ∘ = 100 l b + A H s i n ⁡ 22.5 ∘ + c o s ⁡ 22.5 ∘

G H = 207 l b

Retornando isso à expressão para as forças verticais, obtemos:

H 0 = 58.6 l b

Passo 3

Podemos prosseguir para o ponto G. A força externa atua em conjunto com o componente vertical do GH para anular o componente vertical do FG. Também os componentes horizontais das forças FG e GH têm que cancelar a força GO.

100 l b + G H s i n ⁡ 22.5 ∘ = F G s i n ⁡ 22.5 ∘ (vertical)

F G = 315 l b

G O = F G c o s ⁡ 67.5 ∘ + G H c o s ⁡ 67.5 ∘ (horizontal)

G O = 200 l b

Movendo-se para o ponto F, vemos que o ângulo entre FG e a vertical é 22,5 ∘ e que o ângulo entre FO e a horizontal é 45∘. Além disso, o ângulo entre FE e horizontal é de 22,5∘.FG está sendo puxado para baixo de modo que seu componente vertical junto com a força externa está cancelando os componentes verticais de FO e FE. Além disso, o componente horizontal de FG junto com o componente horizontal de FO deve cancelar o componente horizontal de FE.

100 l b + F G c o s ⁡ 22.5 ∘ = F E s i n ⁡ 22.5 ∘ + F O s i n ⁡ 45 ∘ (vertical)

F E c o s ⁡ 22.5 ∘ = F G s i n ⁡ 22.5 ∘ + F O c o s ⁡ 45 ∘ (horizontal)

Passo 4

Subtraindo, temos

100 l b + F G c o s ⁡ 22.5 ∘ - F E c o s ⁡ 22.5 ∘ = F E s i n ⁡ 22.5 ∘ - F G s i n ⁡ 22.5 ∘

F E = 315 l b

Retornando isso à expressão para as forças verticais, obtemos:

F O = 341 l b

Finalmente, se olharmos para o ponto E, vemos que apenas as forças horizontais são componentes horizontais de EF e ED. Disto podemos concluir que os membros do lado direito devem ter forças iguais atuando sobre eles como seu par do lado esquerdo.

Passo 5

A H = A B G H = B C F G = C D E F = D E H O = B O G O = C O F O = D O

Por tudo isso, sabemos que a barra EO deve cancelar as componentes verticais da força EF e DE e da força externa.

E O = F E c o s ⁡ 67.5 ∘ + D E c o s ⁡ 67.5 ∘ + 100 l b E O = F E c o s ⁡ 67.5 ∘ + F E c o s ⁡ 67.5 ∘ + 100 l b E O 400 l b

Cada membro conectado ao ponto O está sendo encurtado por forças externas (compressão) e cada membro no aro está sendo alongado por forças externas (tensão). Se adicionássemos o membro AO de volta, a roda seria indeterminada.

Resposta

A B = 130.7 l b A H = A B = 130.7 l b G H = 207 l b H 0 = 58.6 l b F G = 315 l b G O = 200 l b F E = 315 l b F O = 341 l b A H = A B G H = B C F G = C D E F = D E H O = B O G O = C O F O = D O E O 400 l b

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